Je viens de découvrir ce problème, et je me propose de regarder du côté d'éventuels points fixes.Dans ce message je me limite au cas où
est continue et
1)
Vous avez déjà vu que
était solution, avec une infinité de points fixes donc.
2) Si
, avec
Pour tout couple
on a :
Si je regarde au point
, on trouve :
Mais puisque
et
on trouve que :
, donc un point fixe en
.
Je trouve ça intéressant : ca voudrait dire que dès qu'on trouve un point non fixe, alors il y a un point fixe dans les parages... Et même plusieurs en fait puisque
est continue donc on peut trouver un intervale autour de ce
tel que
.
Bien sûr, il est possible que ce point fixe soit, toujours le même, voir éventuellement toujours 0 mais si c'est le cas, alors cela impose une relation à
, c'est à dire qu'on a forcément
soit encore
.
3)Petite remarque:
Si maintenant on suppose
, j'ai le droit d'écrire
avec
En faisant comme au 2) on a :
,
En remplacant les valurs dans l'équation on en déduit que
(ce qui est cohérent avec ce qui a déjà été trouvé)
Je me demande si on peut arriver à quelque chose par cette voie...
(to be continued...)