Exo de Topologie compacité dans R^n niveau L3

[nasa1989]

Bonjour à tous,

Est ce que vous pouvez m'aider à résoudre cet exo de topologie ( sur les parties compactes dans R^n) svp ?
Apparemment il faut utiliser la définition de Borel Lebesgue mais je l'ai que dans R.

Merci d'avance.

énoncé:
Soit S R^n une partie compacte
Et soit V R^n un ensemble ouvert tel que S V.
Montrer qu’il existe U R^n tels que
. U est ouvert
. Et S U U (barre) V
U (barre) = l’adhérence

[zygomatique]

salut

S est compact donc tu peux le recouvrir par un recouvrement fini d'ouvert U_1, ..., U, n

comme S inclus dans V tu peux considérer les V inter U_i

puis l'union de ces V inter U_i ...

[nasa1989]

salut

S est compact donc tu peux le recouvrir par un recouvrement fini d'ouvert U_1, ..., U, n

comme S inclus dans V tu peux considérer les V inter U_i

puis l'union de ces V inter U_i ...

Salut,

merci pour ta réponse
et donc il n'y a aucun piège (ou démonstration) dans l'inclusion de U barre avec les S, U et V

[Mat22]

Bonjour,
Pourquoi on ne pourrait pas avoir V=recouvrement fini d'ouverts ?
Dans ce cas on n'aurait pas U(barre) inclus dans V..

[zygomatique]

attention :: je n'ai donné qu'un début de piste ...

à mon avis (de ce que je me souviens !!!) il faut utiliser la séparabilité à un moment donné ....

si K est un compact inclus dans l'ouvert V alors je peux construire un ouvert W contenant K et ne rencontrant pas le complémentaire de V ...

[Doraki]

Moi aussi, je peux même prendre W = V.

[zygomatique]

Moi aussi, je peux même prendre W = V.

:ptdr:

oui effectivement ... alors peut-être di-je des bêtises ... :hum:

[Robot]

On peut s'en tirer en considérant l'ensemble des points dont la distance à S est strictement plus petite que la distance au complémentaire de V (si V est différent de R - le cas où V=R^n étant trivial).