Existence d'un ensemble ouvert

[capitaine nuggets]

Bonjour, j'aurais besoin d'aide pour montrer la proposition suivante :

Proposition : Soient un ensemble compact et un ensemble ouvert tels que . Alors il existe un ouvert tels que .

Voici ce que je propose pour l'instant :

On peut écrire que , où les sont des ouverts. est un recouvrement de par des ouverts donc d'après la propriété de Borel-Lebesgue, il existe un sous-recouvrement fini de par des ouverts, c'est-à-dire il existe , tel que où .
De plus, on a toujours , donc il me reste à montrer que , mais je ne sais pas comment m'y prendre.

Merci d'avance à ceux qui prendront le temps de m'aider :+++:

[zygomatique]

le sujet vient d'être posé là :: http://www.maths-forum.com/exo-topologie-compacite-r-n-niveau-l3-167839.php

et ça me semble mal rédigé .... voir le lien ...

[Doraki]

Pose X = {ouverts U tels que l'adhérence de U est incluse dans O}.
Comme O est ouvert et qu'on est dans un espace métrique, X recouvre O.
Comme K est compact et inclus dans O, il y a une partie finie {U1...Un} de X qui recouvre K. On prend V = la réunion de ces ouverts.
Comme l'adhérence commute avec les réunions finies, Adh(V) = réunion des adhérences des Ui, qui est inclus dans O.

[capitaine nuggets]

Qu'est-ce qui te paraît mal rédigé ?

Je ne comprends pas tes considérations : d'après ce que tu as, je devrais considérer "". Or donc , où ai-je rater quelque chose ?

Sinon, j'avais penser à plutôt considérer , puis en extraire un sous-recouvrement fini (peut-être que c'est plus simple à manipuler).

[capitaine nuggets]

Pose X = {ouverts U tels que l'adhérence de U est incluse dans O}.
Comme O est ouvert et qu'on est dans un espace métrique, X recouvre O.
Comme K est compact et inclus dans O, il y a une partie finie {U1...Un} de X qui recouvre K. On prend V = la réunion de ces ouverts.
Comme l'adhérence commute avec les réunions finies, Adh(V) = réunion des adhérences des Ui, qui est inclus dans O.

Salut !

Je ne comprends pas pourquoi X recouvre O : X = {ouverts U tels que l'adhérence de U est incluse dans O}, donc , non ?

[Doraki]

Ben il recouvre O parceque chaque point de x est inclus dans un ouvert Ux dont l'adhérence est incluse dans O.

Tu voulais dire "réunion de X est inclus dans O" ?
Oui certes, mais l'inverse est aussi vrai, ces deux machins sont égaux.

[capitaine nuggets]

Nam, j'ai toujours un problème avec ça :

D'après ce que j'ai compris :
et donc puisque , on devrait avoir , non ?

Ou alors, quelque chose m'échappe...

[Doraki]

Non, {ouverts U / Adh(U) est inclus dans O} ce n'est pas la même chose que la réunion des ouverts U tels que Adh(U) est inclus dans O.

Le premier truc c'est X, le 2ème c'est la réunion de X, alors s'il te plait arrête de les appeler tous les deux X.

Quand je dis que X recouvre O je veux dire que O est inclus dans la réunion de X.
Toi tu te plains que c'est pas possible puisque la réunion de X est inclus dans O, si j'ai bien compris.

Il n'y a rien de contradictoire à ça, par exemple {O} est un recouvrement de O par des ouverts (un seul ouvert, même), et la réunion de {O} eh ben c'est O, et on a bien que O est inclus dans la réunion de {O} (donc {O} recouvre O), et ce même si on a aussi que la réunion de {O} est inclus dans O. Il n'y a aucune contradiction puisque la réunion de {O} c'est O donc les inclusions sont vraies dans les deux sens.