Salut. Voila ce que je propose comme démo.
Soit
un morphisme d'anneau surjectif et J un idéal de B.
Je sais pas si tu le maitrise bien, mais je te laisse vérifier qu'on peut munir l'ensemble quotient
d'une structure d'anneau via:
où
où
.
Revenons à la demo.
On va noter
la projection canonique de B sur
.
Soit alors
définie par
Alors on a
.
On considère maintenat l'anneau quotient
et l'application
définie par
où
est un représentant quelconque de X.
4 choses à vérifier:
1) h est bien définie:
Si
alors il existe
tel que
Mais alors
car
.
Cela signifie que cl(x)=cl(y)=> h(cl(x))=h(cl(y)) et donc h est bien définie (ne dépend pas du représentant de la classe).
2) h est injective:
Si h(X)=0 et si x est un représentant de X
, cela signifie que g(x)=0 et donc que
et donc que X=0 est la classe de x dans
.
3)h est surjective:
Si
, soit y un représentant de Y. comme f est surjective, il existe
tel que y=f(x). Ceci signifie que g(x)=Y. A ce moment la, X=cl(x) vérifie: h(X)=Y. Donc h est surjective.
4)h est un morphisme d'anneaux:
Soient X et Y deux éléments de
, x et y leurs représentants. Alors par la strucutre d'anneau que j'ai donnée, xy est un représentant de XY, et
. Idem pour la somme....
Donc on a montré que h est un morphisme bijectif d'anneaux. Donc les deux anneaux sont isomorphes.
J'espère n'avoir pas écrit de betises, ou pas fait trop compliqué... S'il y'a des choses pas claires n'hésite pas.
Edit: Merci Robot