Demonstration de la demonstration par reccurence

[Robot]

OK, et donc l'ensemble des entiers naturels est défini (grâce à l'axiome de l'infini) comme l'intersection des ordinaux (ou le plus petit ordinal) contenant 0 et stable par successeur. Euh, c'est-y pas la récurrence ça ? :lol3:

[Rha]

En tout cas, il est assez pertinent de faire le lien entre le principe de preuve par récurrence et le fait que l'ensemble des entiers naturels soit bien ordonné.

(on peut aussi définir l'ensemble des entiers naturels comme le plus petit ordinal limite (non nul), ce qui ne fait pas référence à une forme de récurrence)

[Monsieur23]

Euh, d'après moi, l'axiome de l'infini dit juste (en gros), que N existe, et pas que c'est plus petit ensemble contenant 0, et stable par successeur.

Pour moi, axiome de l'infini : Il existe un ordinal limite.
On en déduit juste qu'il existe un ordinal des ordinaux finis. Le théorème de récurrence nous dit que c'est le plus petit qui contient 0, et stable par successeur.

[Robot]

En tout cas, il est assez pertinent de faire le lien entre le principe de preuve par récurrence et le fait que l'ensemble des entiers naturels soit bien ordonné.

Bien d'accord, mais ça s'applique alors aussi à la récurrence transfinie.

Sinon, OK, avec l'axiome de l'infini formulé comme "il existe un ordinal limite" on peut définir comme le plus petit ordinal limite, c.-à-d. le plus petit ordinal différent de 0 et non successeur. Ca ne semble pas toutefois être la façon habituelle de formuler l'axiome de l'infini : c'est plutôt habituellement

et est alors défini comme l'intersection des ensembles ayant comme élément et stables par (pas besoin de passer d'abord par les ordinaux).

Bon, on s'est pas mal éloigné des préoccupation de "Professeur1618" et j'ai toujours du mal à voir ce que son prof attendait de lui !

[Monsieur23]

En fait, on peut plus ou moins se passer de l'axiome de l'infini, quitte à borner par un entier arbitrairement grand, ou à faire des quantifications méta.

La récurrence nous montrera "", ou "Pour tout ordinal fini n, P(n)" au lieu de "", de la même façon qu'on ne peut pas écrire "" dans le cas de la récurrence transfinie.

Mais on aura quand même P(n), pour tout n.