Image de f

[tortue-geniale]

Salut,

J'ai f une application linéaire de R[X] dans R[X] telle que
f(P)=P-2P'+P''

Je cherche l'image de cette appli linéaire. Donc j'écris f(P) avec des sommes, des ak et des X^k

Le pb c'est que je tombe sur un truc vraiment compliqué. J'arrive pas à en tirer quelque chose..

[Robot]

Si le polynôme P est de degré n, quel est le degré du polynôme f(P) ?
Conclusion sur l'image de f ? (On peut commencer par regarder l'image de la restriction de f au sous-espace des polynômes de degré inférieur ou égal à n, si on veut.)

[mathelot]

l'image d'une base est une base car deg(P)=deg(f(P)).
Les polynômes images ont des degrés échelonnés.

[tortue-geniale]

Le degré de P est n aussi. Mais ça n'implique pas que l'image de la restriction soit Rn[X]
(pareil pour f)

[Robot]

Mais ça n'implique pas que l'image de la restriction soit Rn[X]
(pareil pour f)

C'est juste en l'air que tu dis ça ?
Ca l'implique, bien sûr. Réfléchis un peu. Mathelot à donné un indice (degrés - et pas polynômes - échelonnés).

[mathelot]

C'est juste en l'air que tu dis ça ?
Ca l'implique, bien sûr. Réfléchis un peu. Mathelot à donné un indice (degrés - et pas polynômes - échelonnés).

je corrige.

ta fonction est le carré d'un opérateur linéaire (= pléonasme :we: )

[tortue-geniale]

Non ce n'était pas en l'air c'est juste qu'en explicitant f(P) avec des ak, X^k j'arrivais pas à comprendre pourquoi.

Donc en gros j'ai : f(P) = a0 f(1) + a1 f(X) + ... + an f(X^n), et donc comme les degrés sont échelonnés j'ai une base

Merci bien !


Edit : Un opérateur linéaire. Je ne sais pas ce que c'est.

[Robot]

j'ai : f(P) = a0 f(1) + a1 f(X) + ... + an f(X^n), et donc comme les degrés sont échelonnés j'ai une base

Si tu écris ça comme ça, la correctrice va mettre un gros point d'interrogation à côté (et elle aura bien raison).

[tortue-geniale]

Ah oui ça ne prouve pas que imf=R[X]

Mais im(f)=vect(1, X-2 ,..., X^n - 2n.X^(n-1) + n(n-1)X^(n-2) ) ça ne suffit pas..

[Robot]

Une famille de n+1 polynômes de degré 0,1,2,...,n est une base de l'espace des polynômes de degré inférieur ou égal à n.

[tortue-geniale]

Ah au temps pour moi. Les vacances sont passées par là, il faut que j'étudie mon cours.

Merci !

[Robot]

Sage décision !