Résolution de système d'équations

[PhilT]

Bonjour

Il me faut résoudre le système suivant



a, b et c sont 3 réels distincts.

Par la méthode du pivot de Gauss je trouve sans difficultés et en triangularisant le système qui s'y prête bien.

Donc x = 1-y-z d'après l'équation 1 ; je remplace y et z par leurs valeurs trouées ci-dessus, je réduis au même dénominateur, et j'en reste à :




Les réponses à trouver sont données, sans explication, pour vérification, l'intérêt étant de trouver la méthode et les résultats par soi-même.

Donc y et z sont bons ; la réponse donnée pour x est

j'ai fait des essais de factorisation, de simplification pendant 20 minutes environ, rien à faire, je ne vois pas comment ils trouvent cette valeur! avez-vous une idée ?

Je remarque juste que les résultats des 3 inconnues s'expriment sius une forme qui ressemble à une permutation circulaire sur a,b et c.

Merci par avance de me donner une explication

[Robot]

Déterminant de Vandermonde, ça te dit quelquechose ?

[PhilT]

Je vais faire une recherche dans ce sens et te dirai mes conclusions, merci

[PhilT]

Je vais faire une recherche dans ce sens et te dirai mes conclusions, merci

Bonjour Robot

si j'ai bien compris la méthode, je trouve



plusieurs possibilités de factorisation ; si je mets un facteur de degré 1 en facteur commun, je dois faire un choix "arbitraire" de 2 parmi les 3 nombres littéraux qui apparaissent au numérateur et au dénominateur.

En mettant en facteur commun ceux de degré 2, les 3 nombres sont utilisés d'une seule façon possible

soit mais je ne vois toujours pas comment on aboutit au résultat demandé. Si c'est la bonne méthode ?

Merci de me dire

[Robot]

Cet exercice est un exemple typique d'utilisation des formules de Cramer et des déterminants de Vandermonde. En effet, les déterminants qui interviennent dans les formules de Cramer sont tous, pour ce système, des déterminants de Vandermonde.
S'il n'y a pas de déterminant de Vandermonde dans ton cours ou dans un exercice précédent, ce n'est pas la méthode attendue.
D'où ma question.

[PhilT]

En fait on nous a présenté les déterminants (sans préciser de Vandermonde, même si je me souvenais avoir lu ce nom/cette dénomination dans une autre recherche), les systèmes de Cramer et leur utilisation pour trouver les solutions du système lorsque le déterminant est non nul, + la méthode de Sarrus pour les déterminants d'ordre 3.

Là je veux juste comprendre quelle astuce/quel artifice il faut appliquer pour factoriser sous la forme donnée dans le résultat.

Au pire, si on ne m'en indique pas parce que ce ne serait pas évident ou qu'il n'y en aurait pas, je vais remplacer les a,b,c et d par des valeurs numériques et voir si je trouve la même valeur pour x avec mon résultat et celui donné comme solution. Pas idéal ni trop rigoureux, mais bon, ça prouverait que j'ai une bonne formule pour déterminer x

[Robot]

Notons . Monsieur Vandermonde dit que .

Monsieur Cramer dit que la solution de ton système est . En particulier,



Par ailleurs tu t'es trompé dans ton calcul de . J'ai l'impression que tu as oublié le dans . Vérifie !

[PhilT]

1/ Merci pour ces explications détaillées (tu en connais du monde, dis-moi !)

2/ Bravo pour ta perspicacité ; j'avais 3 pages de brouillons et d'essais ; une de mes tentatives a consisté à isoler y + z, pour le retrancher de 1, pensant avoir moins de termes au numérateur pour voir une simplification, et après cette simplification retrancher cette somme simplifiée de 1, mais non, ça ne marchait pas non plus ! C'est ce que j'ai dû recopier dans ma réponse ; excuse-moi

Il faut donc que je revois la technique de calcul d'un déterminant.

Encore merci

[PhilT]

Je me permets de revenir qqs instants pour être sûr que j'ai bien compris ce que j'ai lu sur le déterminant de Vandermonde et ce que tu m'as indiqué.

le déterminant de Vandermonde ne s'appliquerait que lorsqu'on a des colonnes (ou des lignes) du type
;
;


(ici n = 2)

auquel cas s'applique la formule ?

Parce que effectivement si je calcule le déterminant principal du système par la méthode (générale) que je connais, j'obtiens bc² + a²c + ab² - a²b - b²c -ac²
ce qui est égal à (b-a)(c-a)(c-b) quand on développe...

De là à voir comment on factorise la première ligne pour obtenir la deuxième.....?

Donc un déterminant du type n'est pas un déterminant de Vandermonde ?

Merci de me dire

[Robot]

Un déterminant de Vandermonde est un déterminant d'une forme spéciale, bien entendu. Tu l'écris en taille n+1, je me suis contenté de la taille 3 qui intervient ici.
Je ne comprends pas bien ta question, en particulier je ne comprends ce que tu veux dire par
"De là à voir comment on factorise la première ligne pour obtenir la deuxième.....?"

[PhilT]

Ma question visait à m'assurer que j'avais bien compris que les déterminants de Vandermonde, dont je découvre les détails et particularités suite à ta suggestion d'hier, sont bien un type particulier de déterminants, en fait -et c'est là qu'on va voir si j'ai bien compris, l'idée me vient en te répondant - lorsque que les termes de chaque ligne ou alors de chq colonne forment une suite géométrique de premier terme 1 et de raison le 2ème terme de la ligne ou de la colonne.

je ne comprends ce que tu veux dire par
"De là à voir comment on factorise la première ligne pour obtenir la deuxième.....?"

Eh bien puisque bc² + a²c + ab² - a²b - b²c -ac² = (b-a)(c-a)(c-b)

je me demande - toujours, même si tu m'as bien éclairé sur l'exercice - comment du premier membre de l'égalité on peut voir qu"on peut le factoriser pour obtenir le produit de 3 facteurs du 2ème membre de cette égalité ? Je passe peut-être à côté
de qqc qui te paraît évident mais franchement, je ne vois pas d'identité remarquable ou d'autre artifice/astuce ou procédé calculatoire qui puisse donner des indices pour aboutir à cette factorisation !

[Laurent Watteau]

Prenez un peu de recul et regardez ce système d'équations droit dans les yeux... vous verrez alors que la solution est triviale.

En effet, vous avez trouvé la valeur de . Mais si je rebaptisais à la fois en et en , vous auriez donc trouvé , n'est-ce pas ?
La seule chose qui changerait, c'est qu'il faudrait également échanger les rôles de et de .

Les "rôles" de , , et sont effectivement les mêmes, il ne suffit que de renommer les inconnues et les constantes.


Remplacez donc mentalement par , par et par dans :


et vous obtenez, tout simplement, le résultat escompté :



N'oubliez jamais de bien regarder ce genre d'équations avant de vous lancer dans des calculs inutilement compliqués.

Laurent.


PS : En plus je viens juste de remarquer dans votre message que vous aviez la bonne intuition avec votre "permutation circulaire"... donc qu'est-ce qui vous a retenu dans votre raisonnement pour conclure ?

[Robot]

Eh bien puisque bc² + a²c + ab² - a²b - b²c -ac² = (b-a)(c-a)(c-b)
je me demande - toujours, même si tu m'as bien éclairé sur l'exercice - comment du premier membre de l'égalité on peut voir qu"on peut le factoriser pour obtenir le produit de 3 facteurs du 2ème membre de cette égalité ? Je passe peut-être à côté
de qqc qui te paraît évident mais franchement, je ne vois pas d'identité remarquable ou d'autre artifice/astuce ou procédé calculatoire qui puisse donner des indices pour aboutir à cette factorisation !

Je réponds en retard, mais ma réponse peut éventuellement être utile à d'autres :
Notons P(a,b,c) le membre de gauche de l'égalité ; c'est un polynôme en a, b, c de degré 3.
Il devient nul si on remplace b par a (P(a,a,c)=0) : il est donc divisible par a-b. De même on voit qu'il est divisible par b-c et par c-a. Il est donc divisible par le produit (a-b)(a-c)(b-c). Comme ce produit est déjà de degré 3, il existe une constante k telle que P(a,b,c)=k(a-b)(a-c)(b-c). Il ne reste plus qu'à expliciter le coefficient d'un monôme, par exemple a^2b, pour voir que k=-1.
Remarque supplémentaire : le fait que P(a,a,c)=0 se voit directement sur le déterminant : si on remplace b par a, le déterminant a deux colonnes identiques et donc est nul.

[PhilT]

>> M. Watteau : Merci pour vos conseils

vous aviez la bonne intuition avec votre "permutation circulaire"... donc qu'est-ce qui vous a retenu dans votre raisonnement pour conclure ?

; je ne voyais pas comment m'en servir dans ce cas précis ; vous m"avez fourni le chaînon manquant. Merci.


>> Robot, merci d'avoir repris le fil ; tant mieux si tes compléments d'information sont utiles à d'autres aussi, sache qu'ils le sont déjà pour moi. Je n'aurai pas trouvé par moi-même le raisonnement par les degrés. J'en étais resté à bc(c-b) + ac(a-c) + ab(b-a).

En ce qui concerne ce que j'ai écrit sur les déterminants de Vandermonde, le lien avec les suites géométriques dans les colonnes/lignes...ça tient la route ? Je ne suis pas trop sûr, je n'ai jamais rien lu de semblable dans les sites sur lesquels j'ai eu de l'information sur le sujet. Merci de me dire.

[Robot]

En ce qui concerne ce que j'ai écrit sur les déterminants de Vandermonde, le lien avec les suites géométriques dans les colonnes/lignes...ça tient la route ? Je ne suis pas trop sûr, je n'ai jamais rien lu de semblable dans les sites sur lesquels j'ai eu de l'information sur le sujet. Merci de me dire.

Quand on a dit qu'une colonne est , on ne sent pas forcément le besoin de dire que c'est une progression géométrique de premier terme et de raison . C'est vrai, mais ça n'apporte rien de plus.

[PhilT]

Mais - le fait que les termes des colonnes/lignes soient en progression géométrique - est-ce que c'est une caractéristique des déterminants de Vandermonde ou non ? C'est ça que je souhaite savoir.

Un déterminant de Vandermonde est un déterminant d'une forme spéciale, bien entendu.

Cf ton message du 28/09 20 h 35 ; y a-t-il une caractéristique de cette forme spéciale ? Je n'ai rien trouvé de clair à ce sujet sur les sites que j'ai consultés.

Merci de me dire et merci pour ta patience

[Robot]

Je n'ai rien trouvé de clair à ce sujet sur les sites que j'ai consultés.

??? Les sites qui parlent de matrice ou de déterminant de Vandermonde écrivent ce que sont ces objets, par exemple ici. J'ai moi-même écrit dans ce fil ce qu'était le déterminant de Vandermonde 3x3 associé à a,b,c.

[PhilT]

Eh bah voila ! Merci pour le lien ; du wikipedia clair, c'est pas toujours la cas. J'aurais tapé "matrice" au lieu de "déterminant" de Vandermonde dans le moteur de recherche, je serais sûrement tombé direct dessus.. :hein:

Bon WE.