Démonstration de a^-n=1/a^n

[Lioooon]

Hey, quelqu'un peut démontrer a^-n=1/a^n
Je trouve rien sur internet.merci.

[mathelot]

on souhaite avoir un calcul d'exposants généralisés


qui soit vrai quelques soient les signes des exposants m et n

on pose donc pour n=0


ce qui, au départ, n'était qu'une simple convention d'écriture se révèle plein
de bonnes propriétés.

Donc on garde et on utilise la formule.

[Lioooon]

matelot merci pour la réponse je trouve ça vraiment logique mais... ba j'y aurais... pas pensé. Les profs démontrent presque jamais les expressions aussi

[zygomatique]

salut



on pose alors

il suffit alors de remplacer x par

[Lioooon]

zygomatique je comprends pas par contre

[Yayaj]

Pour tout a non nul et pour tout n, on a :



donc

donc

[laetidom]

Pour tout a non nul et pour tout n, on a :



donc

donc

SUPER LA DEMONSTRATION !! (celle de mathelot également, celle de zygomatique me parle moins (désolé) -)

[zygomatique]

salut



on pose alors

il suffit alors de remplacer x par

je remplace donc x par et j'obtiens

:zen:

PS : les autre démonstrations n'utilisent pas la définition de base ....

[laetidom]

[quote="zygomatique"]:cry:

je remplace donc x par et j'obtiens

:zen:

PS : les autre démonstrations n'utilisent pas la définition de base ===> qu'elle est-elle cette définition de base, serait-ce x. = 1 ????[/QUOTE]

Ok, bien vu.
---------------------

Juste une précision,

x. = 1 à quoi sert de dire cela pour dire ensuite que l'on pose la relation qui suit (etant donné que c'est celle que l'on cherche à démontrer, c'est ça que je ne comprends pas, excusez-moi de ne pas percuter !)

on pose alors (1/x) = x^-1

il suffit alors de remplacer x par a^n
----------------------------------------------


j'ai fait x. = 1

a^n. = 1

mais après ça donne a^n = a^n ..... je suis un peu perdu dans cette démo, désolé....

[Yayaj]

les autre démonstrations n'utilisent pas la définition de base ....

Moi, j'ai fait la démonstration pour tout n. Toi, tu as utilisé un cas particulier pour démontrer le reste.

Enfin, de toute façon, c'est plus une définition qu'un théorème :lol3:

[laetidom]

voir post modifié de 18h13

[zygomatique]

il faut revenir à l'ordre des apprentissages !!!

on connaît évidemment la notation fractionnaire !!! (et les opérations avec des fractions ... qui sont apprises avant les exposants)

et donc que l'inverse de x est

alors une fois qu'on décide par convention de noter le nombre

c'est une trivialité de montrer ce qui est demandé ... puisque ce n'est qu'une substitution de symboles : x par a^n

et ça reste alors cohérent avec les règles sur les exposants positifs

[MABYA]

Juste une petite précision concernant la réponse de @Mathelot
il faut savoir que a^0=1 (car a^p/a^p = 1 = a ^(p-p) )

[zygomatique]

alors que ce n'est pas nécessaire pour ma démonstration ....

[laetidom]

Merci bien pour ces réponses !

[paquito]

Comment on fait dans une petite classe pour montrer que , parce il faut déjà commencer par ça!

On admet que tout produit vide vaut 1???

Enfin, si l'on pose, c'est une notation qui ne pourra être justifiée que plus tard!

[paquito]

Comment on fait dans une petite classe pour montrer que , parce il faut déjà commencer par ça!

On admet que tout produit vide vaut 1???

Enfin, si l'on pose, c'est une notation qui ne pourra être justifiée que plus tard!

[titine]

Comment on fait dans une petite classe pour montrer que , parce il faut déjà commencer par ça!

On admet que tout produit vide vaut 1???

Enfin, si l'on pose, c'est une notation qui ne pourra être justifiée que plus tard!

Dans les petites classes on ne démontre pas que a^0=1. C'est une convention.
On fait quand même remarquer que c'est une convention qui "marche" bien !
Car par exemple x^5/x^3 = (x*x*x*x*x)/(x*x*x) = x^2
Ce qu'on généralise assez facilement pour n différent de m par x^n/x^m = x^(n-m)
En posant x^0=1 la propriété reste vraie pour n=m

[paquito]

Dans les petites classes on ne démontre pas que a^0=1. C'est une convention.
On fait quand même remarquer que c'est une convention qui "marche" bien !
Car par exemple x^5/x^3 = (x*x*x*x*x)/(x*x*x) = x^2
Ce qu'on généralise assez facilement pour n différent de m par x^n/x^m = x^(n-m)
En posant x^0=1 la propriété reste vraie pour n=m

Cette convention laisse perplexe les élèves; de toute façon, rien n'est démontrable avant le niveau TS

[nodjim]

Je trouve que l'explication de Yayav est suffisante. Elle est évidente et se retrouve facilement quand on ne sait plus ce qu'est une puissance négative.