Etude de f(x)=1+x²+x³+(x^4)+(x^5)

[Piou67]

Bonjour,

Je dois regarder si f(x)=1+x²+x³+(x^4)+(x^5) est injective ou surjective.

Pour cela j'ai essayé plusieurs méthodes :
>> Passer par une somme, on a donc une somme arithmétique qui peut s'écrire autrement :
f(x)=[1-(x^6)] / [1-x]
Mais le tracé sur calculatrice montre qu'on a plus tout à fait la même fonction...
>> Se prendre (x,x') tel que f(x)=f(x') et prouver que x=x', mais impossible à prouver...
>> Etudier f(x), donc regarder le signe de f'(x), mais je n'arrive pas à l'étudier !

Cela fait 2-3 jours qu'on planche dessus avec mon groupe de DM mais sans succès.

Quelqu'un pourrait-il m'aider ?

Merci

[Luc]

Bonjour,

- quel est l'ensemble de définition de f, et quel est son ensemble d'arrivée?
Tel quel, f est mal définie, tu as donné seulement une expression et pas une fonction. (l'injectivité et la surjectivité vont dépendre de ce que tu choisis comme ensembles de définition et d'arrivée).

- C'est f(x)+x qui est une somme géométrique, pas f(x)!

- Utilise le fait qu'une fonction strictement croissante est injective (pourquoi?).

[Piou67]

Oula désolé je devais être fatigué quand j'ai posté le message !

La fonction va de R dans R et à x associe 1+x+x²+x^3+x^4+x^5.

Du coup l'utilisation de la somme est justifié.

Pour la stricte croissance c'est justement ce que je veux faire en essayant d'étudier la fonction mais je n'y arrive pas...

J'ai la dérivée qui est 1+2x+3x²+4x^3+5x^4 mais comment étudier son signe ?

[chan79]

salut
quand x tend vers , f(x) tend vers

quand x tend vers , f(x) tend vers

et f est continue sur donc f est surjective.



Etudie de signe de

[zygomatique]

salut

pour poursuivre sur la même jonglerie que chan79 ::




:zen:

[Doraki]

(1+2x+3x²+4x3+5x4)(1-2x+3x²-4x3+5x4) = 1+2x²+3x4+14x6+25x8. Tous ses coefficients sont positifs donc ce produit est strictement positif pour tout x de R.

Comme 1+2x+3x²+4x3+5x4 est strictement positif sur R+, 1-2x+3x²-4x3+5x4 l'est donc aussi sur R+ ce qui veut dire que 1+2x+3x²+4x3+5x4 l'est sur R-.

[chan79]

Peut-être une généralisation possible ?

[zygomatique]

pour tout x :: f(x)(f(-x) > 0

or si x > 0 alors f(x) > 0 donc f(-x) > 0

donc f(x) > 0 pour tout x

:zen:

[Doraki]

Enfin bon j'ai dit ça comme ça mais j'ai plus l'impression que c'est un hasard qui fait que ça a marché lol

[chan79]

Un essai de généralisation
Soit n un entier naturel impair
Soit les fonctions f et g:

si x non nul et g(0)=1
f et g sont égales sur

En écrivant f'(x), on voit que f est croissante sur
f'(0)=g'(0)=1
On calcule ensuite g'(x) dont il faut étudier le signe sur


Le numérateur est égal à:

et on constate qu'il est positif pour x négatif puisque n est impair

[chan79]

Enfin bon j'ai dit ça comme ça mais j'ai plus l'impression que c'est un hasard qui fait que ça a marché lol

Un essai de généralisation
Soit n un entier naturel impair
Soit les fonctions f et g:

si x différent de 1 et g(1)=n+1
f et g sont égales sur

En écrivant f'(x), on voit que f est croissante sur

On calcule ensuite g'(x) dont il faut étudier le signe sur


Le numérateur est égal à:

et on constate qu'il est positif pour x négatif puisque n est impair