Dénombrement

par **armel98** » 28 Sep 2015, 00:09

Bonsoir, grand souci de dénombrement.
On souhaite partager 4 cahiers identiques à 3 personnes. Déterminer le nombre de façons d'effectuer ce partage sachant qu'une personne peut tout recevoir.
Je voudrais une fois savoir s'il y a une formule générale pour le partage de p objets identiques à n personnes.

par **chan79** » 28 Sep 2015, 07:33

salut
c'est le nombre de façons d'obtenir 4 en ajoutant 3 entiers positifs ou nuls et en tenant compte de l'ordre. Il y a une formule (combinaison)
Ici, 2 parmi 6 = 15

par **Robot** » 28 Sep 2015, 12:36

Un petit raisonnement qui permet de retrouver facilement la formule. Séparons ce qui revient aux personnes 1,2,...,n par n-1 barres |, et indiquons par des croix x les objets revenant à chaque personne.
Par exemple
xx|x|x
veut dire 2 cahiers pour le 1er, 1 pour le deuxième, 1 pour le troisième,
|xxx|x
veut dire 0 cahier pour le premier, 3 pour le deuxième, 1 pour le troisième.
Il y a ainsi une bijection entre les façons de répartir p objets identiques entre n personnes et les suites formées de (n-1) barres | et p croix x. Le nombre de telles suites est le coefficient binomial

.

par **nodjim** » 28 Sep 2015, 16:36

Précision bien utile et très efficace, merci !

par **moullmat** » 28 Sep 2015, 16:43

c'est le nombre des applications d'un ensemble de 4 éléments (cahiers) vers un ensemble de 3 éléments ( personne) = 3 exposant 4 = 81

par **Robot** » 28 Sep 2015, 17:24

moullmat a écrit:c'est le nombre des applications d'un ensemble de 4 éléments (cahiers) vers un ensemble de 3 éléments ( personne) = 3 exposant 4 = 81

Faux. Moullmat, tu dénombres comme si les cahiers étaient numérotés et que donner le cahier n°1 à la personne n°1 et le cahier n°2 à la personne n°2 ne revenait pas au même que de donner le cahier n°2 à la personne n°1 et le cahier n°1 à la personne n°2. Or il est bien précisé que les cahiers sont identiques?

par **chan79** » 28 Sep 2015, 19:59

C'est plutôt

p=4
n=3

par **Robot** » 28 Sep 2015, 20:36

chan79 a écrit:C'est plutôt

p=4
n=3

M'enfin, chan79, on a

, non ?

par **chan79** » 28 Sep 2015, 20:39

Robot a écrit:M'enfin, chan79, on a , non ?

Ah oui, désolé. Je suis allé trop vite !
Pour 4 objets et 3 personnes, on aligne 4+3-1=6 points
On en choisit 2 pour les séparations
La première personne a 1 cahier, la seconde 2 et la troisième 1

par **Robot** » 28 Sep 2015, 20:59

C'est ce que j'ai déjà expliqué avec mes x et mes | .

par **chan79** » 29 Sep 2015, 11:47

Robot a écrit:C'est ce que j'ai déjà expliqué avec mes x et mes | .

Décidément, j'aurais dû m'abstenir sur cette discussion. Encore toutes mes excuses, Robot.

par **moullmat** » 29 Sep 2015, 15:23

prends le premier cahier, tu as 3 choix pour le donner? prends le deusième tu as aussi 3 choix ainsi de suite , et d'apres le principe fondamental de dénombrement tu as enfin 3x3x3x3 choix en tout càd 81 choix

par **Robot** » 29 Sep 2015, 16:51

moullmat a écrit:prends le premier cahier, tu as 3 choix pour le donner? prends le deusième tu as aussi 3 choix ainsi de suite , et d'apres le principe fondamental de dénombrement tu as enfin 3x3x3x3 choix en tout càd 81 choix

Tu persistes dans ton erreur. Essaie de comprendre ce qu'on t'explique : ton compte est bon si tu numérotes les cahiers. Ici ils sont indistinguables. Il y a bien 15 façons de distribuer.

par **beagle** » 29 Sep 2015, 18:02

les cahiers sont neufs, personne n'a encore écrit dedans je pense, donc ce sont les mèmes à l'identique du pareiloù il n' y aurait aucunbe différence entre les cahiers.

alors si 15 = 3 + 6 + 3 + 3
on retrouve facilement 81 en ordonnant les cahiers qui pas pareils , pas les mèmes, complètement différents, donne alors:
81 = 3x(1) + 6x(4) + 3x(6) + 3x(6x2)

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