Nécessité de l'hypothèse phi bijective dans le cas d'un chan

[tist]

Bonjour, je m'interroge sur la nécessité de l'hypothèse "phi strictement croissante" dans le théorème

" si phi C^1 de ]c,d[ vers ]a,b[ est une bijection strictement croissante et si f est continue par morceaux sur ]a,b[, alors l'intégrale de a à b de f est convergente ssi l'intégrale de c à d de (fophi)*phi' est convergente, et dans ce cas elles ont même valeur"

- j'ai écrit ici le théorème dans le cadre général d'intégrale généralisée.
- dans le cas de f continue sur le segment [a,b], le résultat est vrai même si phi n'est pas bijective et se démontre simplement par intégration entre a et b de la dérivation de Fophi où F est une primitive de f sur I
- dans le cas général on trouve dans les livres ce "phi strictement croissante", mais même parfois dans le cas du segment...Cette hypothèse est-elle vraiment nécessaire? vient-elle plutôt du côté "intégrale généralisée" ou du côté "f est continue par morceaux"? auriez-vous des contre-exemples SVP?

Merci

[arnaud32]

que se passe t il dans le cas de phi constante?

[Kolis]

Bonjour, je m'interroge sur la nécessité de l'hypothèse "phi strictement croissante" dans le théorème

" si phi C^1 de ]c,d[ vers ]a,b[ est une bijection strictement croissante et si f est continue par morceaux sur ]a,b[, alors l'intégrale de a à b de f est convergente ssi l'intégrale de c à d de (fophi)*phi' est convergente, et dans ce cas elles ont même valeur"

- j'ai écrit ici le théorème dans le cadre général d'intégrale généralisée.
- dans le cas de f continue sur le segment [a,b], le résultat est vrai même si phi n'est pas bijective et se démontre simplement par intégration entre a et b de la dérivation de Fophi où F est une primitive de f sur I
- dans le cas général on trouve dans les livres ce "phi strictement croissante", mais même parfois dans le cas du segment...Cette hypothèse est-elle vraiment nécessaire? vient-elle plutôt du côté "intégrale généralisée" ou du côté "f est continue par morceaux"? auriez-vous des contre-exemples SVP?

Merci

Bonsoir !
Quand tu veux montrer qu'une intégrale est convergente tu te ramènes à la possibilité de calculer une limite.
Après changement de variables tu dois donc prouver que la limite d'une fonction composée existe. Composition et limites ne font pas toujours bon ménage et on est obligé d'ajouter des hypothèses pour y arriver : une des hypothèses possible est "strictement croissante".

[tist]

Bonsoir !
Quand tu veux montrer qu'une intégrale est convergente tu te ramènes à la possibilité de calculer une limite.
Après changement de variables tu dois donc prouver que la limite d'une fonction composée existe. Composition et limites ne font pas toujours bon ménage et on est obligé d'ajouter des hypothèses pour y arriver : une des hypothèses possible est "strictement croissante".

Bonjour,
merci pour vos réponses! Mais j'ai l'impression que le problème se pose aussi pour des fonctions continues par morceaux sur un segment, donc que ce n'est pas un problème fondamental de limite.

Pour le cas de phi constante, cela ne pose pas de problème pour les fonctions continues sur un segment par exemple car on obtient 0=0

En fait c'est bête je crois que ce qui me gêne c'est que le théorème est tellement trivial dans le cas continue sur un segment, et qu'en général continue par morceaux ça ne change pas grand chose, et que j'aimerais bien le visualiser. L'autre chose qui me gêne vraiment en pratique, c'est la légitimité, du coup, de rédiger avec "on pose u= t^2 , donc du=2tdt" ce qui se passe très bien pour le cas des fonctions continues sur un segment, mais du coup si c'est un peu plus fin dans le cas général, doit on passer par la forme "fastidieuse" avec fophi(t), et les bornes phi(a), phi(b) etc...?

[Kolis]

Bonjour !
Pour les fonctions continues par morceaux il suffit d'ajouter des intégrales de fonctions continues...
Pour les intégrales généralisées il suffit d'ajouter que la fonction de changement de variables est strictement monotone pour affirmer que les intégrales sont de même nature.
Si tu pars d'une intégrale sur segment (donc cas particulier d'une intégrale convergente) la nouvelle intégrale (même avec borne(s) infinie(s)) sera convergente.