Exercice sur les suites pour se préparer au DS

[opheliere]

Bonjour à tous,

[titine]

Bonjour à tous,
On m'a donné plusieurs exercices afin de me préparer au mieux pour le DS de mardi, cependant un exercice reste compliqué... J'aimerais qu'on m'aide à le comprendre le plus vite possible...
Exercice :
Soit (Sn), la suite définie sur N*, par Sn = (Stigma, signe de la somme), en haut n, et en bas k=1 1/ k(k+1)
1) Écrire un algorithme qui permettrait de calculer Sn où n est un entier naturel non nul choisi par l'utilisateur.
2) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n strictement >1, Sn = n/ n+1
--> Je sais, en général démontrer par récurrence, mais comme je ne sais pas traduire la somme c'est difficile...
3) En remarquant que, pour tout entier k strictement >1, 1/k(k+1)= 1/k-1/k+1 retrouver le résultat de la question b.
Merci à tous ceux qui m'aideront, ce premier DS me fait peur...

Sn = 1/(1*2) + 1/(2*3) + 1/(3*4) + .... + 1/(n*(n+1))

1) l'algorithme tu sais faire ?

2) Initialisation : S2 = 1/2 + 1/6 = 4/6 = 2/3 donc on a bien S2 = 2/(2+1)

Hérédité :
On suppose que Sn = n/(n+1) et on veut prouver qu'alors S(n+1) = (n+1)/(n+2)
S(n+1) = Sn + 1/((n+1)*(n+2))
Comme on a supposé que Sn = n/(n+1) alors S(n+1) = n/(n+1) + 1/((n+1)*(n+2))
= (n(n+2))/((n+1)(n+2)) + 1/((n+1)(n+2))
= (n² + 2n +1)/((n+1)(n+2))
= (n+1)²/((n+1)(n+2))
= (n+1)/(n+2)
Donc la propriété est bien héréditaire.

3) 1/k - 1/(k+1) = (k+1-k)/(k(k+1)) = 1/(k(k+1))
On a donc bien 1/(k(k+1)) = 1/k - 1/(k+1)
Donc Sn = 1/(1*2) + 1/(2*3) + 1/(3*4) + ...+ 1/(n*(n+1))
= (1/1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + (1/3 - 1/4) + ... + (1/n - 1/(n+1))
Après simplification il reste : Sn = 1 - 1/(n+1)
Donc Sn = (n+1-1)/(n+1) = n/(n+1)
On a bien retrouvé le résultat précédent.

[opheliere]

Non, je ne suis pas tres callee en algorithme... Pensez-vous que je puisse tomber dessus lors du DS ?
Merci, en fait mon problème c'est ''la lecture de la somme'', comment faites-vous pour le retranscrire en nombre ?

[titine]

Non, je ne suis pas tres callee en algorithme... Pensez-vous que je puisse tomber dessus lors du DS ?
Oui.
Merci, en fait mon problème c'est ''la lecture de la somme'', comment faites-vous pour le retranscrire en nombre ?

Sn est la somme des nombres 1/(k(k+1)) pour k allant de 1 à n.
Pour k=1 : 1/(k(k+1)) = 1/(1*2) = 1/2
Pour k=2 : 1/(k(k+1)) = 1/(2*3) = 1/6
Pour k=3 : 1/(k(k+1)) = 1/(3*4) = 1/12
......
Pour k=n : 1/(k(k+1) = 1/(n(n+1))

Donc Sn = 1/(1*2) + 1/(2*3) + 1/(3*4) + ...+1/(n(n+1))

Remarque :
Calcule (éventuellement à la calculatrice) :
S2 = 1/2 + 1/6
S3 = 1/2 + 1/6 + 1/12
S4 = 1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20
S5 = 1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + 1/30
Que remarques tu ?
Le but de l'exercice est de démontrer cela dans le cas général.

Autre remarque S3 = S2 + 1/12
S4 = S3 + 1/20
......
S (n+1) = Sn + 1/((n+1)(n+2))
C'est cette remarque que j'ai utilisée pour la démonstration par récurrence.

Pour l'algo essaye de le faire , on te corrigera.
Tu peux le faire de différentes façons :
- avec Pour k allant de 1 à n
- avec Tant que k;)n
Pour t'aider tu dois avoir des exemples dans ton cours ou dans ton livre.

[opheliere]

Bonjour,
voici ce que j'ai fait :
Entrées :
Prompt N
Prompt UO
Traitement : 1 --> K
While K strictement U
K+1--> K
End
Disp K

La suite n'est ni arithmétique, ni géométrique
Merci a vous

[titine]

Non ça ne marche pas.
Je ne sais pas si tu as bien compris comment est défini Sn.
Je te rappelle que :
S1 = 1/(1*2) =1/2
S2 = 1/(1*2) + 1/(2*3) = S1 + 1/(2*3)
S3 = 1/(1*2) + 1/(2*3) + 1/(3*4) = S2 + 1/(3*4)
......


Devez vous écrire les algorithmes en langage calculatrice ?
Je te le donne en langage courant :

Variables : k , S , n

Traitement :
Saisir la valeur de n
k prend la valeur 1
S prend la valeur 1/2
Tant que k<n
..... k prend la valeur k+1
..... S rend la valeur S = S + 1/(k(k+1))
Fin Tant que

Sortie : Afficher S

[opheliere]

Comment sait-on quelle valeur prend K ?
S prend la valeur U1 ?
Merci a vous, mais faut-il toujours prendre cet algorithme et l'adapter en fonction de Sn ?

[titine]

Comment sait-on quelle valeur prend K ?
S prend la valeur U1 ?
Merci a vous, mais faut-il toujours prendre cet algorithme et l'adapter en fonction de Sn ?

On commence par S1. Donc au début (on parle d'initialisation) k vaut 1 et S vaut 1/2.
Puis on fait calculer S2 , S3 , ... , jusqu'à Sn. n étant la valeur saisit au départ. Par exemple si on veut la valeur de S5 on saisira n=5 et alors la boucle tournera jusqu'à ce que k soit égal à 5.

[opheliere]

D'accord, je pense avoir compris, merci de donner de votre temps, pouvez-vous me donner un autre exemple pour que j'essaie de le faire s'il-vous-plait ?
Bonne soirée