Périodicité et série entière

Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
BiancoAngelo
Membre Rationnel
Messages: 585
Enregistré le: 13 Déc 2011, 01:06

Périodicité et série entière

par BiancoAngelo » 30 Juin 2015, 00:47

Bonsoir !

J'ai une question qui me trotte dans la tête depuis pas mal de mois sans avoir pu vraiment continuer de chercher... mais je n'avais rien trouvé à l'époque. Bref !

En première année de prépa, je me souviens que notre prof nous avait fait une démonstration fastidieuse de la périodicité de la fonction cosinus (ou sinus...) à partir de sa définition en série entière.

Quelqu'un connaît-il l'essence de cette démonstration, les pistes ?

Merci !

(de retour un peu ici, ça faisait longtemps... :lol3: )



arnaud32
Membre Irrationnel
Messages: 1982
Enregistré le: 18 Oct 2010, 16:43

par arnaud32 » 30 Juin 2015, 09:37

le plus simple c'est de partir de l'exponentielle complexe et de considerer de R dans S1
c'est un morphisme de gropupes, son noyeau est un sous groupe de R et est donc soit dense dans R soit de la forme aZ
...

BiancoAngelo
Membre Rationnel
Messages: 585
Enregistré le: 13 Déc 2011, 01:06

par BiancoAngelo » 30 Juin 2015, 12:43

arnaud32 a écrit:le plus simple c'est de partir de l'exponentielle complexe et de considerer de R dans S1
c'est un morphisme de gropupes, son noyeau est un sous groupe de R et est donc soit dense dans R soit de la forme aZ
...


Salut, merci de ta réponse, mais je ne vois pas trop...
C'est quoi S1 ? Les complexes de module 1 ?

Pour ne pas avoir fait beaucoup d'algèbre ces dernières années, à quoi va me servir de connaître le noyau de ce morphisme ?

Merci !

BiancoAngelo
Membre Rationnel
Messages: 585
Enregistré le: 13 Déc 2011, 01:06

par BiancoAngelo » 30 Juin 2015, 12:45

Le noyau, c'est ici, non ?

arnaud32
Membre Irrationnel
Messages: 1982
Enregistré le: 18 Oct 2010, 16:43

par arnaud32 » 30 Juin 2015, 13:16

oui c'est une des definitions de pi

arnaud32
Membre Irrationnel
Messages: 1982
Enregistré le: 18 Oct 2010, 16:43

par arnaud32 » 30 Juin 2015, 13:20

tout repose sur le fait que

Avatar de l’utilisateur
mathelot
Habitué(e)
Messages: 13688
Enregistré le: 08 Juin 2006, 09:55

par mathelot » 30 Juin 2015, 13:55

BiancoAngelo a écrit:En première année de prépa, je me souviens que notre prof nous avait fait une démonstration fastidieuse de la périodicité de la fonction cosinus (ou sinus...) à partir de sa définition en série entière.

Quelqu'un connaît-il l'essence de cette démonstration, les pistes ?



c'est dans le "S.Lang,Analysis"

Godfrey
Membre Naturel
Messages: 48
Enregistré le: 04 Mar 2015, 12:24

par Godfrey » 30 Juin 2015, 14:12

Ou dans le Rudin "Analyse réelle et complexe"

Avatar de l’utilisateur
Ben314
Le Ben
Messages: 21482
Enregistré le: 11 Nov 2009, 23:53

par Ben314 » 30 Juin 2015, 19:07

arnaud32 a écrit:tout repose sur le fait que
C'est aussi comme ça que je vois les chose (i.e. exp(z+z')=exp(z).exp(z') est la "clef").
Mais c'est vrai qu'ensuite, il y quelques "banalités" pas très compliquées à rajouter :
1) (car les coeff. de la série définissant exp sont réels)

donc .
2) Donc, pour tout ce qui prouve que, si on pose (définition) et alors .
On vérifie aisément (avec les séries correspondantes) que et donc et .
La fonction sinus est donc croissante au voisinage de 0.
Si elle le restait sur alors elle tendrait en +oo vers une limite et sa dérivée, à savoir tendrait vers 0. Or, dans ce cas, serait une fonction décroissante tendant vers 0 donc sa dérivée, à savoir devrait aussi tendre vers 0 : contradiction.
Donc la fonction sinus n'est pas croissante sur [0,+oo[ ce qui signifie que la fonction cos s'anulle au moins une fois et on peut considérer le plus petit réel tel que (qui existe car est fermé donc admet un plus petit élément).
On a alors donc d'où et on en déduit que les fonction sin et cos sont périodiques de période
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

BiancoAngelo
Membre Rationnel
Messages: 585
Enregistré le: 13 Déc 2011, 01:06

par BiancoAngelo » 30 Juin 2015, 21:22

Eh bien, c'était bien "pire" dans ma mémoire.

Merci à tous pour vos réponses.
Merci Ben pour cette réponse très détaillée.
Je vais la recopier, cette démonstration m'est très précieuse !

BiancoAngelo
Membre Rationnel
Messages: 585
Enregistré le: 13 Déc 2011, 01:06

par BiancoAngelo » 17 Sep 2015, 18:27

BiancoAngelo a écrit:Eh bien, c'était bien "pire" dans ma mémoire.

Merci à tous pour vos réponses.
Merci Ben pour cette réponse très détaillée.
Je vais la recopier, cette démonstration m'est très précieuse !


En relisant et recopiant la démonstration pour la mémoriser, je me pose une question.

Quand tu parles de l'image de {0} par à la fin, comment définis-tu la fonction réciproque de cos à ce moment précis, surtout par rapport à son ensemble de définition ?

Merci.

L.A.
Membre Irrationnel
Messages: 1709
Enregistré le: 09 Aoû 2008, 18:21

par L.A. » 17 Sep 2015, 20:01

Bonjour,

ce n'est pas l'image par la fonction réciproque, c'est l'image réciproque (l'ensemble des antécédents de 0 par cos) qui est définie même si la fonction réciproque n'est pas définie, comme c'est le cas ici.

BiancoAngelo
Membre Rationnel
Messages: 585
Enregistré le: 13 Déc 2011, 01:06

par BiancoAngelo » 17 Sep 2015, 21:29

L.A. a écrit:Bonjour,

ce n'est pas l'image par la fonction réciproque, c'est l'image réciproque (l'ensemble des antécédents de 0 par cos) qui est définie même si la fonction réciproque n'est pas définie, comme c'est le cas ici.


Bonjour,

D'accord, merci.
Néanmoins, je me suis dit que si on prend les fonctions cos et sin définies sur R, alors il n'y a pas de plus petit élément à cette image réciproque, alors que ça reste l'image d'un fermé.
Voilà en fait pourquoi je ne comprends pas (même si il est évident qu'on parle ici de ce qu'il se passe sur R+, mais pourquoi la propriété s'invaliderait si on était sur R ?).

BiancoAngelo
Membre Rationnel
Messages: 585
Enregistré le: 13 Déc 2011, 01:06

par BiancoAngelo » 18 Sep 2015, 16:40

BiancoAngelo a écrit:Bonjour,

D'accord, merci.
Néanmoins, je me suis dit que si on prend les fonctions cos et sin définies sur R, alors il n'y a pas de plus petit élément à cette image réciproque, alors que ça reste l'image d'un fermé.
Voilà en fait pourquoi je ne comprends pas (même si il est évident qu'on parle ici de ce qu'il se passe sur R+, mais pourquoi la propriété s'invaliderait si on était sur R ?).


Est-ce que c'est parce que la propriété utilisée ici est :
- l'ensemble est fermé
- l'ensemble est minoré par 0
=> Il y a un plus petit élément.

C'est bien ça ?

L.A.
Membre Irrationnel
Messages: 1709
Enregistré le: 09 Aoû 2008, 18:21

par L.A. » 18 Sep 2015, 22:14

Oui, dans R tout ensemble minoré admet une borne inférieure, et dans le cas d'un fermé cette borne inférieure est atteinte, c'est donc le plus petit élément.

BiancoAngelo
Membre Rationnel
Messages: 585
Enregistré le: 13 Déc 2011, 01:06

par BiancoAngelo » 18 Sep 2015, 22:29

L.A. a écrit:Oui, dans R tout ensemble minoré admet une borne inférieure, et dans le cas d'un fermé cette borne inférieure est atteinte, c'est donc le plus petit élément.


Parfait, merci beaucoup.

 

Retourner vers ✯✎ Supérieur

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur enregistré et 74 invités

Tu pars déja ?



Fais toi aider gratuitement sur Maths-forum !

Créé un compte en 1 minute et pose ta question dans le forum ;-)
Inscription gratuite

Identification

Pas encore inscrit ?

Ou identifiez-vous :

Inscription gratuite