Endomorphismes

[PhilT]

bonjour

pouvez-vous svp m'aider à avancer sur cet exercice ?

Soit f un endomorphisme de E (e.v. de dim.3) tel que et (O : application nulle de E).

1/ Montrer qu'il existe un vecteur u de E tel que soit une base de E

2/ Trouver les images et les noyaux de

3/ Soit G l'ensemble des endomorphismes g de E qui commutent avec f , donc t.q. gof = fog
Montrer que (G;+;.) est un espace vectoriel ; quelle est sa dimension ?

Pour la question 1 j'ai établi la démonstration à l'aide de propriétés des applications linéaires.

Pour la question 2, je trouve :

Im f est le plan vectoriel engendré par f(u) et f²(u)
Ker f est la droite vectorielle engendrée par f²(u)

Im f² est la droite vectorielle engendrée par f²(u)
Ker f² est le plan vectoriel engendré par f(u) et f²(u)




Pour la question 3, je montre que donc G non vide ; je voudrais établir que G est un sev de E par stabilité des lois interne et externe ; comment s'y prendre?

Pour la loi + par ex; g1 et g2 étant deux endomorphismes de G , il faudrait montrer que mais comment s'y prendre sachant que et ?

Merci par avance pour votre aide

[jlb]

"Pour la question 3, je montre que donc G non vide ; je voudrais établir que G est un sev de E par stabilité des lois interne et externe ; comment s'y prendre?

Pour la loi + par ex; g1 et g2 étant deux endomorphismes de G , il faudrait montrer que mais comment s'y prendre sachant que et ?"

Salut, fais gaffe G n'est pas un sous espace de E mais de L(E)

Ensuite tu dois vérifier que g1+g2 appartient à G, du coup tu compares fo(g1+g2) avec (g1+g2)of
quand g1 et g2 sont dans G et f une application linéaire.

[PhilT]

"Pour la question 3, je montre que donc G non vide ; je voudrais établir que G est un sev de E par stabilité des lois interne et externe ; comment s'y prendre?

Pour la loi + par ex; g1 et g2 étant deux endomorphismes de G , il faudrait montrer que mais comment s'y prendre sachant que et ?"

Salut, fais gaffe G n'est pas un sous espace de E mais de L(E)

Ensuite tu dois vérifier que g1+g2 appartient à G, du coup tu compares fo(g1+g2) avec (g1+g2)of
quand g1 et g2 sont dans G et f une application linéaire.

fais gaffe G n'est pas un sous espace de E mais de L(E)

Oui, tu as raison :hum:

Merci pour ton conseil, j'ai pu établir la stabilité interne , puis externe.

Tu le crois ou pas, c'est en posant l'égalité que tu m'as indiquée que je viens de découvrir seulement maintenant que la loi o est distributive sur l'addition des applications ; franchement je ne me souviens pas d'avoir vu/lu cette propriété dans les cours ! Donc j'ai fait des recherches ; cf propriété 3 du lien suivant
http://uel.unisciel.fr/mathematiques/espacevect1/espacevect1_ch04/co/apprendre_ch4_03_03.html
Juste avant de faire mes recherches, je me suis posé la question connexe : (L(E);+;o) aurait une structure d'anneau (non commutatif) ?
en lisant la suite du lien, il est mentionné que (L(E);+;o;.)présente carrément une structure d'algèbre (là aussi, découverte!), donc ma première question sur la structure d'anneau reste pertinente, même si c'est une propriété moins forte que la structure d'algèbre?

Pour en revenir à l'exercice et pour le terminer, je sèche sur la dimension...peux-tu (toi ou qqn d'autre) me donner une piste ? Merci par avance.

[jlb]

de rien, par contre, par précaution, je précise: cela marche parce que f est une application linéaire ( j'ai eu un doute en lisant ce que tu as écrit)

[ f: x--->x², g1: x--->x, g:x--->-x alors fo(g1+g2) est bien différente de fog1 +fog2]

Pour ta dernière question: L(E) est un ev de quelle dimension?
Ensuite tu regardes bien la tête de G et tu dois trouver facilement 3 applications linéaires dans G qui forment un système libre. Bon courage.

[PhilT]

de rien, par contre, par précaution, je précise: cela marche parce que f est une application linéaire ( j'ai eu un doute en lisant ce que tu as écrit)

[ f: x--->x², g1: x--->x, g:x--->-x alors fo(g1+g2) est bien différente de fog1 +fog2]

Pour ta dernière question: L(E) est un ev de quelle dimension?
Ensuite tu regardes bien la tête de G et tu dois trouver facilement 3 applications linéaires dans G qui forment un système libre. Bon courage.

bonjour jlb

je viens de découvrir seulement maintenant que la loi o est distributive sur l'addition des applications

écrit comme ça je comprends que tu aies eu un doute. C'est clair que cette distributivité particulière ne concerne ici que les applications linéaires.

En ce qui concerne Dim G....

G est un sev de L(E), qui lui même est de dim 3*3 = 9, donc .
D'après ta réponse précédente je devine que Dim G = 3, mais je n'arrive pas à l'établir

Voici où j'en suis : soit g1 un élément de G ; on a g1 o f = f o g1

Soit x un vecteur de E ; on a

donc

idem pour g2 et g3, mais je ne vois pas comment comment établir que ces 3 éléments de G en constituent une famille libre.

A vrai dire, je ne vois pas sous quel angle "regarder la tête de G" pour en déduire "facilement" une base.

Merci de me dire comment avancer sur ce dernier point

[PhilT]

J'ai encore essayé d'avancer et de réfléchir.

G est un ev d'applications linéaires de E dans E, qui ont la particularité de commuter avec f.
Donc en appliquant le tm de la dimension de L(E), je répondrais que la dimension de G est ...9, sauf à ce que la particularité que je viens de mentionner réduise la dimension de E?? mais je ne vois ni comment ni pourquoi.... Donc en supposant que ce serait le cas, la dim de G serait 4 ou 1 ou 0.
Mais je reste dans l'incertitude.

J'aimerais comprendre ce point.

merci par avance

[jlb]

salut, regarde la tête de G: Id,f,f² appartiennent à G car les puissances de f commutent avec f.
Donc dimG>=3 ( tu montres que c'est facilement une famille libre).
C'est la première idée!!

Après , tu prends un élément g de G et tu regardes ce qui se passe sur la base (u, f(u),f²(u))
il existe donc a,b et c tels que

g(u)=au + bf(u)+cf²(u)

d'où

g(f(u))=f(g(u))=af(u)+bf²(u)

g(f²(u))=f(g(f(u))=af²(u)

Donc g=aId + bf +cf² la famille (Id, f,f²) aussi est génératrice

conclusion dimG =3

[PhilT]

salut, regarde la tête de G: Id,f,f² appartiennent à G car les puissances de f commutent avec f.
Donc dimG>=3 ( tu montres que c'est facilement une famille libre). Après il faut espérer une autre aide, je n'ai pas le temps actuellement de plus y réfléchir. Bon courage à toi.

Est-ce que je peux écrire que (E;+;.) est isomorphe à (L(E);+;.), donc que
si (u;f(u);f²(u)) est une base de E (établi à la question 1),
alors (Id;f;f²) est une base de L(E)
et comme Id, f et f² appartiennent à G (établi facilement en effet), et que G est un sous-ensemble de L(E), c'est aussi une base de G et en conséquence DimG = 3 ?

Merci de me dire

[jlb]

Est-ce que je peux écrire que (E;+;.) est isomorphe à (L(E);+;.), donc que
si (u;f(u);f²(u)) est une base de E (établi à la question 1),
alors (Id;f;f²) est une base de L(E)
et comme Id, f et f² appartiennent à G (établi facilement en effet), et que G est un sous-ensemble de L(E), c'est aussi une base de G et en conséquence DimG = 3 ?

Merci de me dire

NON, il te reste à établir que la famille est génératrice, je n'ai pas trop le temps mais en réfléchissant un peu j'ai complété le post précédent et tu as la réponse complète. Dis moi, si c'est ok pour toi, je jetterai un œil ce soir sur le site. Bon courage

[PhilT]

NON, il te reste à établir que la famille est génératrice, je n'ai pas trop le temps mais en réfléchissant un peu j'ai complété le post précédent et tu as la réponse complète. Dis moi, si c'est ok pour toi, je jetterai un œil ce soir sur le site. Bon courage

merci pour l'aide que tu m'as apportée.

J'ai compris ton raisonnement sauf que je ne comprends pas comment à l'avant-dernière ligne tu conclus/déduis :

Donc g=aId + bf +cf² la famille (Id, f,f²) aussi est génératrice

Ayant retrouvé et justifié tout ton raisonnement précédent, j'ai écrit la matrice de g (élément quelconque de G) dans la base (u;f(u);f²(u)) de E; mais ça ne fait que prouver (matrice triangulaire inférieure) que [g(u);g(f(u));g(f²(u))] est une nouvelle base de E, pas de G ??

donc il me manque un dernier chaînon pour finaliser :doh:

merci si tu peux me donner cette dernière explicartion

et crois-moi j'ai cherché avant de redemander

[jlb]

salut, l'objectif est de trouver une base de G sev de L(E)

Ecris la matrice d'un élément g de G dans la base (u,f(u),f²(u))
Ecris dans cette même base la matrice de Id, de f et de f²

Tu sais qu'il existe a,b et c dans ? tq g(u) =au+bf(u)+cf²(u)

Comme fog=gof, tu obtiens que g(f(u)=af(u) +bf²(u) et g(f²(u)=af²(u)
Tu peux écrire ainsi la matrice de g dans la base (u,f(u),f²(u))

Id(u)=u, Id(f(u))=f(u) et Id(f²(u))=f²(u)

f(u)=f(u)!!, f(f(u))=f²(u) et f(f²(u))=0

f²(u)=f²(u)!!, f²(f(u)=0 et f²(f²(u))=0

Tu écris alors les matrices de Id, f et f² dans la base (u,f(u),f²(u)) et tu constates que g=aI+bf+cf²

Donc n'importe quel élément g de G s'écrit comme une combinaison de Id, f et f²: tu as donc une famille d'applications génératrice ( et libre) de G: Tu as une base de G, G est de dimension 3


Bon courage, et n'hésite pas, je regarderai vite tard ce soir ou demain matin.

[PhilT]

Bonjour jlb

on est bien d'accord que la matrice d'un élément g de G dans la base (u,f(u),f²(u)) s'écrit :

?

J'ai des doutes rapport à la bêtise que j'ai écrite et au fait que je n'arrive pas à trouver le résultat auquel tu dis que je dois parvenir.

Merci de me dire

[PhilT]

Ecris dans cette même base la matrice de Id, de f et de f²

la matrice de Id : (trivial)

la matrice de f :

la matrice de f² :

pour être sûr que je pars sur les bonnes bases ?

[PhilT]

Ca y est j'ai trouvé ; je retrouve bien g en faisant la somme des 3 matrices de Id, f et f² dans la base trouvée au départ.

Donc tout élément quelconque de G peut s'écrire sous forme de combinaison linéaire de Id, f et f², qui est une famille génératrice (et libre, je l'avais vérifié hier) d'éléments ("vecteurs") de G, donc une base de l'ev G, donc Dim G = 3

Merci bcp pour ton aide et ta patience ! :hum: (sauf erreur ?)

[jlb]

Ca y est j'ai trouvé ; je retrouve bien g en faisant la somme des 3 matrices de Id, f et f² dans la base trouvée au départ.

Donc tout élément quelconque de G peut s'écrire sous forme de combinaison linéaire de Id, f et f², qui est une famille génératrice (et libre, je l'avais vérifié hier) d'éléments ("vecteurs") de G, donc une base de l'ev G, donc Dim G = 3

Merci bcp pour ton aide et ta patience ! :hum: (sauf erreur ?)

Tout bon, bravo!!
( hier, ce qui n'allait pas c'est que (g(u),g(f(u),g(f²(u)) n'est pas forcément une base de E (regarde ce qui se passe si a=0 ) et surtout, cela n'avait rien à voir avec l'objectif: trouver une base de G)

[PhilT]

Grand merci jlb pour ton aide détaillée et efficace