Logarithme et suites ( Terminale S)

[Lency410]

Bonjour, j'ai besoin d'une correction pour un exercice que mon professeur m'a donné en plus, seulement il n'a pas fais de correction. Si quelqu'un peut m'aider cela serait sympa de sa part.
Le plus rapidement serait le mieux, car un devoir surveillé sur les logarithmes approche et j'aimerais être au point.
Merci.

Soit f la fonction définié sur I = ]1;+inf[ par f(x)= x/ln(x)

1)a. Déterminer les limites de f en 1 et en +inf.
b. Calculer f'(x) et dresser le tableau de variation de f.
c. Construire la courbe représentative de f et la droite d'équation y=x.

2)On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n par:
Uo=5 et Un+1=f(Un)
a. Représenter à l'aide de la courbe de f les trois premiers termes de la suite (Un). Quelle conjecture peut-on faire sur son sens de variation?
b. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a:
Un>=Un+1>=e
c.En déduire que la suite (Un) converge vers un réel l.
d. déterminer(par le calcul) l.
e. Ecrire un algorithme permettant de déterminer le plus petit entier n tel que la distance entre Un et l soit inférieure à 10^-3.

[bauzau]

Tu veux qu'on te "balance" toute la correction ??!!

[Lency410]

Comme cela vous convient le mieux, j'ai seulement besoin d'une correction pour vérifier mon exercice et ensuite si je ne comprend pas la correction, je verrais directement avec mon professeur ou ici

[bauzau]

Personne ne te donnera toute la correction ici,

commence par faire l'exercice, et dis les points dont tu n'es pas sûre, ou les questions que tu ne comprends pas, nous te donnerons quelques pistes.

[Lency410]

Ok, merci .

[Lency410]

1)a. Lim en +inf= +inf et Lim en 1=0
b. f'(x)=(1*ln(x)-1/x * x)/(ln(x))²
= (ln(x) - x)/(ln(x))²
tableau de variation:

x 1 +inf
f'(x) ll -
f(x) ll décroissante

c. comment répondre à la question c ?

2)a. Uo=5 ; U1=f(Uo)=f(5)=3,106674673 ; U2=f(U1)=f(3,10..)=2,740652532
On peut conjecturer que la suite un est décroissante et majoré par Uo.

b.Un>=Un+1>=e
Je démontre par récurrence que Pn: " Un>=Un+1>=e " est vraie
initialisation: Uo=5 et U1= 3,10
Uo>U1 par conséquent Po est vraie.
hérédité: (besoin d'aide)
c. la suite Un est décroissante et minoré alors elle converge
d. (besoin d'aide)
e. (besoin d'aide)

[Lency410]

Pour le tableau de variation: rectification!

fonction décroissante de 1 à e^1 et croissante jusqu'a +inf.

[mathelot]

f atteint son minimum local en x=e.

x=e est également l'abscisse du point fixe: f(e)=e

la courbure est négative pour

wolfram alpha