Supplémentaire

[Trident]

Salut à tous, j'ai une question à propos de module et supplémentaire.

L'objet de cet exemple est de montrer que dans un module, les sous modules n'ont pas forcément de supplémentaire (je sais qu'il existe des exemples plus simples mais le suivant m'intéresse particulièrement).

Considérons A l'anneau des fonction continues de [0,1] dans C. On peut le voir comme un A-module (un module sur lui même). Soit I un sous A module de A. En particulier, I est un idéal de A. On veut montrer qu'il n'existe pas de supplémentaire I' pour I (sauf si I=A ou {0} bien sûr !).

Supposons que A = I + I' (avec le "+" entouré).
Il est dit dans le corrigé mais sans expliquer pourquoi : il existe p : [0,1] -> C dans A vérifiant p²=p et telle que I soit engendré par p : I=pA.

Du coup, dès qu'on a ça, c'est fini car comme p est continue, si elle vérifie p(x)²=p(x) pour tout x, on conclut qu'elle est soit constante à 1 ou à 0.

Mais pourquoi peut-on trouver un tel p ?

Merci d'avance.

[Robot]

En décomposant la fonction constante 1 selon I et I', je parie.

[Doraki]

Si tu décomposes 1 = p+q alors pour tout x de A tu as la décomposition x = px (dans I) + qx (dans I').
Et donc I = (p) et I' = (q).
I et I' sont en somme directe donc pq, qui est dans l'intersection des deux, est nul.

En particulier pour x=p, p = p² + qp = p², et donc p²-p = 0
Et donc soit p=1 (et alors I=A) soit p=0 (et alors q=1 et I'=A).

[Trident]

Merci bien !