Géométrie dans le plan

[ready]

Bonsoir!

je dois trouver l'équation des tangentes au cercle C d'équation x²-2x+y²=3 passant par le point A(2,4)

Apparemment je dois trouver 2 tangentes mais je n'arrive pas a determiner leur equation... Pourriez vous me donner quelques pistes svp.
Merci d'avance.

[Quidam]

Bonsoir,

Tu écris l'équation de la droite passant par A et qui a pour pente p.

Ensuite tu cherches les points d'intersection de cette droite avec le cercle. Si tu trouves deux points d'intersection distincts, cela veut dire que la droite coupe le cercle en deux points distincts. Si tu trouves zéro points, cela veut dire que la droite ne coupe pas le cercle. Si tu trouves deux points confondus, alors, tu peux dire que la droite est tangente au cercle ! Tout cela dépendra de la valeur de p. Et tu trouveras donc (en principe) deux valeurs de p pour lesquelles la droite passant par A et de pente p est tangente au cercle.

[ready]

donc si j'ai bien compris, l'équation de la droite est ax + by -(4a + 2b)=0

y= (-a/b)x + (4a +2b)/b avec -a/b la pente.

et ensuite je dois resoudre le systeme:
{ax + by -(4a + 2b)=0
{x²-2x+y²-3 =0

C'est corret? et ensuite je fais comment ?? (désolé j'suis un peu a la ramasse ce soir...)

[Quidam]

donc si j'ai bien compris, l'équation de la droite est ax + by -(4a + 2b)=0

y= (-a/b)x + (4a +2b)/b avec -a/b la pente.

et ensuite je dois resoudre le systeme:
{ax + by -(4a + 2b)=0
{x²-2x+y²-3 =0

C'est corret? et ensuite je fais comment ?? (désolé j'suis un peu a la ramasse ce soir...)

En gros c'est ça ! Mais tu t'es trompé : l'équation de la droite ce n'est pas ax + by -(4a + 2b)=0 mais plutôt ax + by -(2a + 4b)=0.

En outre, c'est déjà assez compliqué comme ça sans vouloir ajouter un paramètre de plus. Ecrire l'équation avec a et b comme paramètres c'est moins simple que d'utiliser un seul paramètre p qui serait la pente de la droite.

Moi je préfère y-4=p(x-2)
ou y = 4 + p*(x-2)
et mon système c'est :

y = 4 + p*(x-2)
x²-2x+y²-3 =0

Tu remplaces y dans la deuxième équation par son expression en fonction de x (et p) donnée par la première équation :

x²-2x+(4 + p*(x-2))²-3 =0

Ceci est une équation du second degré en x. Selon le discriminant, (qui sera une fonction de p), tu pourras dire si cette équation a deux solutions (en x) distinctes ou confondues, ou s'il n'y a pas de solution du tout ! Les valeurs de p qui rendent le discriminant nul sont celles pour lesquelles la droite d'équation y=4+p*(x-2)=0 est tangente au cercle...

Voili voilou !

Courage ! Il faut quand même s'accrocher...

[Imod]

En fait c'est assez facile si on se souvient que si (D) est la tangente en M à un cercle de centre I alors (D) est perpendiculaire à (IM) . Ici on remarque que le centre du cercle est I(1;0) et il ni a plus que chercher les deux points M du cercle tels que IM.AM=0 ( avec des vecteurs ) . Les calculs sont très simples .

Imod