Démo algebre

[mathcegep]

Bonjour, j'ai une démo à faire et je ne sais pas comment faire donc voila la question ;
Démontrer que la matrice (0 1,0 0) n'a pas de racine carrée. il faut faire une preuve par absurde. Je sais que la matrice A est la racine carrée de la matrice B si A^2 =B

merci de bien vouloir m'aider !

[Robot]

Bonjour, j'ai une démo à faire et je ne sais pas comment faire donc voila la question ;
Démontrer que la matrice (0 1,0 0) n'a pas de racine carrée. il faut faire une preuve par absurde. Je sais que la matrice A est la racine carrée de la matrice B si A^2 =B

merci de bien vouloir m'aider !

De manière très terre à terre : suppose que , et déduis-en une absurdité.

[mathcegep]

De manière très terre à terre : suppose que , et déduis-en une absurdité.

Est ce que je peux faire
A^2=B
B=0nxn
B^2 n'est pas égal A
A n'a pas de racine carré

est ce que c'est logique ? puisquon met rarement des nombre dans les démo ( la matrice 0 1,0 0)

[Robot]

est ce que c'est logique ?

Non, ce que tu écris n'a aucun sens. Je t'ai donné une indication précise.

[mathcegep]

Non, ce que tu écris n'a aucun sens. Je t'ai donné une indication précise.

ok merci, dois-je développer la matrice ^2 . Moi c'est plutôt la preuve par absurdité qui me trouble,car je n'en ai jamais entendu parlé

[Robot]

ok merci, dois-je développer la matrice ^2 .

Ben oui, je pense que la contempler dans les yeux ne va pas suffire.

Et quant au "raisonnement par l'absurde", le principe est le suivant :
On fait l'hypothèse que la matrice donnée est le carré d'une matrice, et on essaie d'en déduire une absurdité, du genre 0=1.
Ceci montre que la matrice donnée n'est pas un carré.

(En fait, ce n'est pas vraiment un raisonnement par l'absurde, mais passons).

[sylvainc2]

Une autre façon de faire est de raisonner en termes de polynôme annulateur et minimal de A: si A^2=B0 et que B^2=0=A^4 alors un polynome annulateur de A est .... donc le polynome minimal de A doit être ...etc... et on arrive à une contradiction.

[Robot]

sylvainc2, as-tu vraiment réfléchi à ta proposition ? Tu ne tireras aucune contradiction du fait que est un polynôme annulateur d'une matrice . Pour le moins, tu formules mal ta proposition.

[sylvainc2]

Je ne voulais pas donner la réponse complète mais bon, maintenant il faut bien.

Donc est un polynôme annulateur de A. Le polynôme minimal de A divise tout polynome annulateur de A, il est aussi lui-même annulateur de A. Donc les possibilités sont .

Mais comme A est 2x2, on se limite à et .

Si c'est m(X)=X alors on doit avoir m(A)=A=0, donc A^2=0B, ce qui contredit l'hypothèse de départ.

Si c'est m(X)=X^2 alors m(A)=A^2=0, impossible pour la même raison.

Donc il n'y a pas de matrice 2x2 A telle que

Il me semble que ce raisonnement est correct.

[Robot]

Mais comme A est 2x2, on se limite à et .

Il te reste à justifier ça. Tu vas sans doute faire appel à Cayley-Hamilton, mauis tu avoueras alors que c'est loin d'une démonstration terre à terre ! Et je ne suis pas convaincu que notre questionneur connaisse Cayley-Hamilton.

[Sylviel]

Déjà l'utilisation du polynome minimal me semble très exagérée :zen:

[chombier]

[quote]Est ce que je peux faire
A^2=B
B=0nxn
B^2 n'est pas égal A
A n'a pas de racine carré

est ce que c'est logique ? puisquon met rarement des nombre dans les démo ( la matrice 0 1,0 0)[/QUOTE]
Deux choses :
- sauf exercice très tordu, on doit toujours utiliser toutes les données de l'énoncé

- tu dois prouver que CETTE matrice n'admet pas de "racine carrée". Si tu n'utilises pas ce que tu sais de cette matrice, ça veux dire que tu cherche à prouver qu'AUCUNE matrice n'admet de "racine carrée"

Un peu de bon sens, please

[chombier]

Est ce que je peux faire
A^2=B
B=0nxn
B^2 n'est pas égal A
A n'a pas de racine carré

est ce que c'est logique ? puisquon met rarement des nombre dans les démo ( la matrice 0 1,0 0)

Deux choses :
- sauf exercice très tordu, on doit toujours utiliser toutes les données de l'énoncé

- tu dois prouver que CETTE matrice n'admet pas de "racine carrée". Si tu n'utilises pas ce que tu sais de cette matrice, ça veux dire que tu cherche à prouver qu'AUCUNE matrice n'admet de "racine carrée"

Un peu de bon sens, please