Bonjour à tous et à toutes,
je vous propose de réfléchir autour d'une figure qui me semble particulièrement riche en surprises et émotions :
ABC est un triangle aigu (les trois angles sont strictement inférieurs à 90°) d'orthocentre H.
H_A est l'intersection du segment [HA] et du cercle de diamètre [BC], de même pour H_B, H_C.
On complète la figure de façon à obtenir un cube vu en perspective et basé sur les trois points de fuite A,B,C (voir figure). Le sommet arrière du cube est noté D (comme "diagonale").
On note AB le point d'intersection de (HD_C) et [AB], de même BC, AC.
Les droites (A,BC), (B,AC) et (C,AB) sont concourantes en un point noté ABC, aligné avec H et D (c'est assez évident quand on pense les choses en perspective).
Question ouverte : peut-on construire de façon "plus simple" le point ABC ?
Autres propriétés :
- D est le centre du cercle circonscrit à H_AH_BH_C ;
- H_A,H_B,D_C et C sont cocycliques ;
- D est le centre d'un cercle inscrit dans l'hexagone H_AD_CH_BD_AH_CD_B ;
- Le cube est un cube parfait (autrement dit c'est la représentation exacte d'un cube bien proportionné vu en perspective) ;
- Les points H_A, H_B et leurs symétriques H'_A, H'_B par rapport à (BC),(AC) respectivement sont cocycliques, le cercle en question étant centré en C ;
- les points H_A,H_B,H_C,H'_A,H'_B,H'_C sont les centres des faces d'un méga-cube centré en H obtenu en adjoignant sept petits cubes identiques au premier, le tout vu en perspective ;
- les points H_A,H_B,D et le sommet du méga-cube obtenu comme symétrique de D par rapport à D_C sont cocycliques (observé mas pas encore démontré) ;
-...
Voilà pour commencer, merci de me faire part de toutes vos remarques :zen: