Un certain cube parfait

[L.A.]

Bonjour à tous et à toutes,

je vous propose de réfléchir autour d'une figure qui me semble particulièrement riche en surprises et émotions :



ABC est un triangle aigu (les trois angles sont strictement inférieurs à 90°) d'orthocentre H.
H_A est l'intersection du segment [HA] et du cercle de diamètre [BC], de même pour H_B, H_C.
On complète la figure de façon à obtenir un cube vu en perspective et basé sur les trois points de fuite A,B,C (voir figure). Le sommet arrière du cube est noté D (comme "diagonale").
On note AB le point d'intersection de (HD_C) et [AB], de même BC, AC.
Les droites (A,BC), (B,AC) et (C,AB) sont concourantes en un point noté ABC, aligné avec H et D (c'est assez évident quand on pense les choses en perspective).

Question ouverte : peut-on construire de façon "plus simple" le point ABC ?

Autres propriétés :
- D est le centre du cercle circonscrit à H_AH_BH_C ;
- H_A,H_B,D_C et C sont cocycliques ;
- D est le centre d'un cercle inscrit dans l'hexagone H_AD_CH_BD_AH_CD_B ;
- Le cube est un cube parfait (autrement dit c'est la représentation exacte d'un cube bien proportionné vu en perspective) ;
- Les points H_A, H_B et leurs symétriques H'_A, H'_B par rapport à (BC),(AC) respectivement sont cocycliques, le cercle en question étant centré en C ;
- les points H_A,H_B,H_C,H'_A,H'_B,H'_C sont les centres des faces d'un méga-cube centré en H obtenu en adjoignant sept petits cubes identiques au premier, le tout vu en perspective ;
- les points H_A,H_B,D et le sommet du méga-cube obtenu comme symétrique de D par rapport à D_C sont cocycliques (observé mas pas encore démontré) ;
-...

Voilà pour commencer, merci de me faire part de toutes vos remarques :zen:

[4demoyenne]

N'y-a-t'il pas quelque chose d'indécent à mélanger des formes en 3D et des aplats en 2D pour disserter sur leurs rapports à l'exclusion d'autres formes palpables, dans la mesure où les seconds ne sont pas des mesures appartenant intrinsèquement aux premières ?

[L.A.]

Je vais être honnête, je n'ai pas pigé grand chose à ton charabia :hein:
Je vais donc réagir sur la seule partie qui a vraiment marqué mon attention : "...indécent à mélanger des formes en 3D et des aplats en 2D...".

Mélanger 2D et 3D c'est le principe du dessin en perspective : on dispose d'un objet ou d'un décor en 3D, réel ou imaginaire, qu'on souhaite reproduire le plus fidèlement possible sur un support à 2D. Il est donc normal que je sois amené à comparer le modèle (en 3D) et la représentation (en 2D), à parler tantôt de l'un, tantôt de l'autre. Si je n'ai pas suffisamment distingué les deux aspects dans ma présentation et si ça la rend difficile à comprendre, merci de me dire les points à préciser, j'essaierai d'être plus clair (même si j'ai eu l'impression de l'être).

(Indécent ? Ca s'applique à une photo osée, à la limite, mais une figure géométrique...)
EDIT : Cachez ce cube que je ne saurais voir... :ptdr:

[zygomatique]

salut

belle figure ...

juste une remarque d'(é)puriste :ptdr: ::

noter des points comme tu l'as fait (doubleton ou triplet de lettres) est ... disons maladroit et désagréable (formatage des notations usuelles :lol3: )

[L.A.]

Je comprends, c'est une habitude que j'ai prise en travaillant sur ce genre de figure, qui peut surprendre mais qui répond à une certaine logique : au lieu de A et B je note souvent N et E (Nord et Est) pour les deux points de fuite horizontaux du cube, du coup le point de fuite de la diagonale est NE (Nord-Est). Là j'ai pris des noms plus neutres A,B,C pour souligner la symétrie.

[4demoyenne]

Mélanger 2D et 3D c'est le principe du dessin en perspective : on dispose d'un objet ou d'un décor en 3D, réel ou imaginaire, qu'on souhaite reproduire le plus fidèlement possible sur un support à 2D. Il est donc normal que je sois amené à comparer le modèle (en 3D) et la représentation (en 2D), à parler tantôt de l'un, tantôt de l'autre. Si je n'ai pas suffisamment distingué les deux aspects dans ma présentation et si ça la rend difficile à comprendre, merci de me dire les points à préciser, j'essaierai d'être plus clair (même si j'ai eu l'impression de l'être).
:

Oui la comparaison en elle-même est naturelle, d'ailleurs surtout naturelle parce que banale plus que naturelle parce qu'efficiente, mais la simple application d'une matrice nilpotente à la représentation que tu nous exposes prête à douter des propriétés d'apparence évidente que tu énumères. On retrouve cette particularité dans la Courbe du dragon de K. heighway, avec l'importance donnée aux segments.
Cela étant, je ne pense que mon propos t'éclaire davantage, mais la démonstration prendrait du temps.

[L.A.]

Quelle matrice nilpotente ? Si tu parles du passage du 3D au 2D, ça ne peut pas être par une matrice nilpotente (une matrice 2x3 ne peut pas être itérée) et ici ce n'est pas par une matrice. Ce passage est fourni (après choix de repères convenables) par la formule



qui n'est pas linéaire. Ici , on peut aussi prolonger cette application à et dans ce cas arriver dans le plan projectif .

Mais évidemment la philosophie du dessin en perspective n'est pas de se placer dans un système de coordonnées.

EDIT : ou alors j'ai encore mal compris : tu veux appliquer une matrice nilpotente dans R^2 ? Pourquoi faire ?

EDIT : Pour que tout soit bien clair, quand j'affirme que mon cube est un cube parfait, je veux dire qu'il existe huit points dans U formant un cube tel que son image par l'application est la figure là-haut.

[4demoyenne]

Quelle matrice nilpotente ? Si tu parles du passage du 3D au 2D, ça ne peut pas être par une matrice nilpotente (une matrice 2x3 ne peut pas être itérée) et ici ce n'est pas par une matrice. Ce passage est fourni (après choix de repères convenables) par la formule



qui n'est pas linéaire. Ici , on peut aussi prolonger cette application à et dans ce cas arriver dans le plan projectif .

Mais évidemment la philosophie du dessin en perspective n'est pas de se placer dans un système de coordonnées.

EDIT : ou alors j'ai encore mal compris : tu veux appliquer une matrice nilpotente dans R^2 ? Pourquoi faire ?

Non, j'ai compris ton point de vue. Encore qu'avec ta méthode, je crois que dans d'autres situations tu vas te heurter à des difficultés pour calculer l'indice de nilpotence de U. Mais en pratique tu peux faire fi de l'endomorphisme, il est vrai. Et puis il faudrait aussi vérifier le treillis modulaire, par contre là on va aller loin du sujet initial. Donc c'est bon.

[L.A.]

Et puis il faudrait aussi vérifier le treillis modulaire, par contre là on va aller loin du sujet initial. Donc c'est bon.

Oh... merci. Petite précision : tout ce que je fais est théoriquement accessible à un élève de collège (disons de lycée, pour faire large), bien que je ne rentre pas trop dans les détails, il ne s'agit de géométrie très très élémentaire. En particulier, il me semble inutile d'aller chercher à vérifier un quelconque treillis modulaire, d'autant que j'ignore totalement ce que c'est et que par le fait, quoique ça puisse être, c'est certainement très très hors de propos, en effet.

Mais d'un autre côté, je me dis que même après mon parcours relativement avancé dans les études mathématiques (je soutiens ma thèse fin septembre) on ignore toujours des choses et on apprend à tout âge, même de la part de quelqu'un qui sur ce même forum affirme ne pas maîtriser le programme du collège !

Donc je t'en prie, apprends-moi ce qu'est un treillis modulaire, comment je suis sensé le vérifier et qu'est-ce que tout ceci va pouvoir apporter au final.

[4demoyenne]

Treillis et modulaire sont deux expressions trouvées dans le dictionnaire des mathématiques d'Alain Bouvier, cher L.A.
J'aurais pu prendre celles-là comme d'autres. Je constate que tu t'es fendu d'une recherche dans mon historique... Peut-être cela t'a-t'il rassuré sur la qualité de mon charabia inventé de toute pièce, sans quoi tu aurais probablement nourris d'autres doutes.
Ce qui a le mérite d'illustrer la subjectivité mathématique et scientifique en général, chose dont nombre d'ouvrages traitent :lol2: .

[L.A.]

Treillis et modulaire sont deux expressions trouvées dans le dictionnaire des mathématiques d'Alain Bouvier, cher L.A.
J'aurais pu prendre celles-là comme d'autres. Je constate que tu t'es fendu d'une recherche dans mon historique... Peut-être cela t'a-t'il rassuré sur la qualité de mon charabia inventé de toute pièce, sans quoi tu aurais probablement nourris d'autres doutes.

En gros tu n'as fait qu'aligner du jargon sans te soucier de la signification des phrases que tu construisais ni du fait que leur contenu mathématique ait un sens ou pas... Tu es au courant que c'est un genre d'attitude qui ne peut pas mener bien loin dans un domaine scientifique (peut-être dans un domaine littéraire :bad: ?...), mais c'est une bonne chose de l'avoir reconnu au moins, je commence à mieux cerner ton personnage, quoique, il y a encore un paquet de choses qui m'échappent.

Rassure-toi, j'avais vu dès le début que tu ne comprenais rien à ce que tu disais, d'autant que je me basais sur ce que je savais de ta situation (non, je n'ai pas fait de recherches sur ton cas comme un forcené, j'ai simplement suivi la discussion que tu as lancée, j'y ai même participé). Pourtant j'ai mis ça sur le compte que tu ne savais pas bien formuler tes idées, et j'ai cherché à donner des réponses sensées à des questions qui ne l'étaient pas (ou pas totalement), je me suis donné du mal. J'ai partagé un sujet honnête, intéressant (pour moi), sérieux (enfin, c'est ce que j'appelle mes "maths de loisirs" qui n'ont rien à voir avec mon travail de thèse, n'empêche toute math se doit d'être sérieuse), et je me rends compte que j'ai parlé dans le vide. J'en ressens une certaine amertume.

Ce qui a le mérite d'illustrer la subjectivité mathématique et scientifique en général, chose dont nombre d'ouvrages traitent :lol2: .

Peut-être mais je m'en balance pas mal pour tout dire, parce que je pensais qu'on parlerait de perspective ici et qu'on laisserait aux ouvrages qui parlent de la subjectivité mathématique le soin de parler de la subjectivité mathématique, si tu vois ce que je veux dire.

EDIT : Allez, tout compte fait, je prends ça avec humour... toutefois, est-ce qu'on pourrait arrêter de divaguer sur des treillis modulaires et autres "indices de nilpotence d'ouverts de R^3" maintenant et revenir à la figure, siouplait ?

[L.A.]

Autres petites remarques :

- Dans l'espace 3D, il semblerait que le point O où l'observateur a placé son oeil pour voir ce cube sous cet angle est situé sur la sphère inscrite dans le méga-cube (soit la sphère de centre H passant par H_A, H_B, H_C). En tout cas le sommet du méga-cube qui s'obtient comme symétrique de D par rapport à H semble être toujours dans le dos de l'observateur.

- Dans l'espace 3D, on considère le repère (H, HH_A, HH_B) muni d'un cercle trigonométrique. Alors chaque point du segment [AB] correspond à un angle entre 0° et 90° (A = 0°, B = 90°, AB = 45°, etc...). On considère le point AAB = 30° et le point ABB = 60° situés de part et d'autre de AB (je m'acharne avec ces notations mais vous comprenez pourquoi :zen: voyez-les comme une forme de "barycentre angulaire"...) et on trace les droites (C,AAB) et (C,ABB). On fait de même avec les segments [AC] et [BC].
--> Il apparaît un autre cube parfait dont ABC est à la fois le sommet avant et arrière. Il serait intéressant de pouvoir tracer ce cube plus "directement" (à partir de A,B et C uniquement) et d'en déduire AB, AAB, etc...