Exo fonctions bijectives

[joridder]

Bonjour à tous!
Pourriez vous m'aider à résoudre cet exo sur lequel je coince!

Soient f de E dans F et g de F dans E deux applications, on suppose fogofogof surjective et fogof injective.
Montrer que f et g sont bijectives.

Merci d'avance
John

[Imod]

Bonjour à tous!
Pourriez vous m'aider à résoudre cet exo sur lequel je coince!

Soient f de E dans F et g de F dans E deux applications, on suppose fogofogof surjective et fogof injective.
Montrer que f et g sont bijectives.

Merci d'avance
John

si f(x) = f(y) alors fogof(x)=fogof(y) et comme fogof est injective , x = y et f est injective .
Si y est dans F , comme fogofogof est surjective , il existe x dans E tel que : fogofogof(x) = y et en posant z = gofogof(x) , f(z) = y donc f est surjective .

Je te laisse en déduire que g est aussi bijective .

Imod

[joridder]

Merci bcp
Ca ma décoincé même si ça avait pas l'air bien dur...
John

[Mikou]

hha john on est ensemble en cours ( c mickael la )
tabuz tu pourrais chercher tt seul LOL

[joridder]

je sais mai c'était pour aller + vite
Mais bon c'est pas une excuse valable!
En tout cas ce forum il est pas mal!
Eh merci à tous les membres!
John

[Mikou]

surtout a moi

bref sinon on a vu ca en cours :

HoF surjective => h surjective
Hof injective => f injective
HoH^-1 = Id e
H^-1 o H = id f.

ca suffit pour resoudre lexo ...

[joridder]

merci Mickael
T 1 pro des maths, croi moi
Aller a demain
John

[Mikou]

lool, a demin :)

[Imod]

Juste une remarque pour signaler que je n'ai fait que redémontrer les propriétés évoquées par Mikou et que je sais par expérience qu'à long terme c'est la bonne méthode . Mais bien sûr sa solution est bien plus courte et élégante .

Imod