Équation différentielle coriace

[armel98]

Bonjour,
s'il vous plait pouvez vous m'aider à résoudre ces équations. Je suis dessus depuis un mois je n'arrive pas :mur: :mur:
1) y' + y² =x
2) y'= x/(x+y)

[capitaine nuggets]

Salut !

Pour la première déjà :

1) Trouve une solution particulière de cette équation différentielle.
2) Résous l'équation homogène associée .
Pour cela, effectue le changement de variable et montre que résoudre revient à résoudre . Déduis-en la forme générale de , puis de . On notera la forme générale des solutions, où désigne la constante.

Conclusion : l'ensemble des solutions sera formé de toutes les fonctions de la forme .

:+++:

[capitaine nuggets]

Salut !

Pour la première :

1) Trouve une solution particulière de cette équation différentielle.
2) Résous l'équation homogène associée .
Pour cela, effectue le changement de variable et montre que résoudre revient à résoudre . Déduis-en la forme générale de , puis de . On notera la forme générale des solutions, où désigne une constante réelle.

Conclusion : l'ensemble des solutions sera formé de toutes les fonctions de la forme .

:+++:

[Robot]

Salut !

Pour la première :

1) Trouve une solution particulière de cette équation différentielle.
2) Résous l'équation homogène associée .
Pour cela, effectue le changement de variable et montre que résoudre revient à résoudre . Déduis-en la forme générale de , puis de . On notera la forme générale des solutions, où désigne une constante réelle.

Conclusion : l'ensemble des solutions sera formé de toutes les fonctions de la forme .

:+++:

Capitaine nuggets, penses-tu vraiment que si et , alors ? Ce n'est pas une équation linéaire !

[Black Jack]

2)

y'= x/(x+y)

Poser y = u.x

y' = u + u'.x

u + u'.x = x/(x + ux)

u + u'.x = 1/(1 + u)

u'.x = 1/(1 + u) - u

u'.x = (1 - u - u²)/(1+u)

du * (1+u)/(1 - u - u²) = dx/x

On intègre (décomposition de fraction rationnelle pour le membre de gauche) :

(1/10).(V5 - 5).ln|2u + V5 + 1| - (1/10).(5 + V5).ln|-2u + V5 - 1| = ln|k.x|

(1/10).(V5 - 5).ln|2y/x + V5 + 1| - (1/10).(5 + V5).ln|-2y/x + V5 - 1| = ln|k.x|

C'est une équation fonctionnelle liant x et y

(il y a probablement des conditions de validité à introduire de-ci de-là dans ce que j'ai écrit)

:zen:

[armel98]

Merci capitaine nuggets mais Robot a raison. il faut trouver une autre solution. Quant à la deuxième équation merci à toi Black Jack

[Robot]

Un logiciel de calcul formel donne comme solution à la première équation une fonction de la forme , où est solution de l'équation différentielle , c.-à-d. est combinaison linéaire des fonctions d'Airy Ai et Bi.
En effet si est solution de , en prenant pour l'exponentielle d'une primitive de on a et . Réciproquement, si est une solution de , alors en posant on obtient et donc .
Dans tout ceci on n'a pas fait attention aux intervalles sur lesquels ces solutions sont définies.

[armel98]

Merci Robot pour ton aide. j'ai trouvé : :ptdr:

[Robot]

Tu as trouvé quoi ?

[armel98]

Je voulais juste dire que j'ai vu les fonctions de airy sur wikipédia. Mais je rencontre un autre problème: celui de présenter les solutions générales de l'équation.

[Robot]

Je t'ai déjà donnée cette solution générale, exprimée au moyen des fonctions d'Airy.