Résolution d'un système d'équations

par **CBMaths_prof** » 24 Aoû 2015, 20:23

Bonsoir à tous,

Voici un petit défi pour vous (je l'ai déjà résolu donc à vous de jouer

) :

par **Mario2015** » 24 Aoû 2015, 20:34

CBMaths_prof a écrit:Bonsoir à tous,

Voici un petit défi pour vous (je l'ai déjà résolu donc à vous de jouer ) :

Problème de CBMaths Facebook

Un probleme que l`on solutionne en un coup d`oeil n`est pas un defi.

x=5
y=3

par **capitaine nuggets** » 24 Aoû 2015, 20:34

Salut !

Quel est le but du problème ?
Déterminer l'ensemble des points

de

vérifiant ce système ?

par **CBMaths_prof** » 24 Aoû 2015, 20:35

capitaine nuggets a écrit:Salut !

Quel est le but du problème ?
Déterminer l'ensemble des points de vérifiant ce système ?

Oui, voilà !

par **capitaine nuggets** » 24 Aoû 2015, 20:49

Je trouve huit couples solutions :

[CENTER]

[/CENTER]

J'aime ce genre d'exo où il faut trouver des points (ou des lieux de points) à partir d'équations cartésienne non classiques.

par **CBMaths_prof** » 24 Aoû 2015, 21:13

Très bien, capitaine nuggets.

La clé du défi, c'est de changer les variables

et

par **capitaine nuggets** » 24 Aoû 2015, 21:22

Voici comment j'ai procéder :

1/ j'ai remarque une première identité remarquable

dans la seconde équation du système.
2/ j'ai remarque une seconde identité remarquable

dans l'équation obtenue précédemment.
3/ J'en ai alors déduis que

vérifiait le système si et seulement si

appartient à

, où

est un cercle et

,

sont deux hyperboles.
4/ J'ai résolu séparément les systèmes décrivant les ensembles

et

.
5/ J'ai conclut quant à l'ensemble des solutions

.

As-tu utilisé une méthode particulière ?

Après, en voyant que les inconnues sont toutes élevées au carré, je pense qu'on pourrait être probablement plus rapide et efficace en remarquant que :

1)

vérifie le système si et seulement si

et

(dès qu'on aura une solution, on en aura en fait quatre) ;
2)

vérifie le système si et seulement si

vérifient également le système (dès qu'on aura une solution, on en aura en fait deux).

En conséquence, dès qu'on en trouvera une, on trouvera les huit !
Du coup, on pourrait se restreindre la résolution à l'ensemble des couples

tels que

.

par **CBMaths_prof** » 24 Aoû 2015, 21:27

Si on remplace

et

, on obtient :

Résolution classique d'un système d'équations à deux inconnues. Puis en utilisant tes remarques, on obtient toutes les solutions de l'équation.

par **capitaine nuggets** » 24 Aoû 2015, 21:43

Je ne comprends pas pourquoi ta dernière équivalence en est bien une :

n'équivaut à

que si

, or ce n'est pas le cas à priori.

par **mathelot** » 25 Aoû 2015, 08:36

par **lulu math discovering** » 25 Aoû 2015, 15:50

En effet, il ne faut pas oublier que A²=B² A=+ou- B.

D'ailleurs je trouve que noter la solution comme ça : S={(+ou- 5 ; +ou- 3) ; (+ou- 3 ; +ou- 5)} est bien plus simple que faire appel à la notion d'union comme capitaine nuggets.

par **CBMaths_prof** » 25 Aoû 2015, 21:35

mathelot a écrit:

Merci pour la rectification :++:

par **lulu math discovering** » 25 Aoû 2015, 22:42

D'ailleurs je pense que c'est bien plus simple, capitaine nuggets, d'utiliser la combinaison des deux lignes du système une fois x^4 + 2x²y²+y^4=256 simplifié en x²-y²= +ou- 16.

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