Fonctions holomorphes

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Sake
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Fonctions holomorphes

par Sake » 01 Mar 2015, 17:07

Salut,

A la page 2 de ce document, l'auteur écrit :


Je vois mal comment il arrive à ce résultat, vu qu'il ne définit pas ce que signifie son produit matriciel entre la matrice A et le complexe z.
Merci de m'aider



barbu23
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par barbu23 » 01 Mar 2015, 17:40

Bonjour,

Je ne suis pas sûr de ce que je vais dire, parce que, je n'ai pas fait le calcul jusqu'au bout pour vérifier :
Voiçi ce que je peux te conseiller à faire :
- On prend : en tant qu'application - linéaire, et non - linéaire ici :
En d'autres termes :
Et donc :

Essaye de développer pour voir si ça donne le résultat qui se trouve dans ton pdf !?!

Cordialement. :happy3:

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zygomatique
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par zygomatique » 01 Mar 2015, 17:51

salut

il suffit de distinguer (expliciter) partie réelle et partie imaginaire de A(z) ....
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE

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Sake
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par Sake » 01 Mar 2015, 17:54

Bien sûr, mais comment tu calcules Az ? Barbu a donné une réponse satisfaisante je crois.

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mathelot
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par mathelot » 01 Mar 2015, 17:56

bonjour,

une fonction holomorphe a une dérivée complexe (C espace vectoriel)
et une différentielle réelle 2x2

on fait des changements de variables dans le dual (en fait il y a un dual C e-v, de dimension 1,
de base dz et un dual e-v, de dimension 2, de base (dx,dy))






on définit les opérateurs de différentiation R-linéaires


R linéaires
de manière à avoir pour toute fonction R différentiable



avec
on identifie et pile-poil, on trouve que les fonctions holomorphes vérifient


ce noyau résumant les contraintes Cauchy-Riemann.

la dérivation complexe est très contraignante et on peut remplacer h réel par ih imaginaire
dans le taux d'accroissement, en utilisant l'unicité de la C-différentielle

excuse moi si c'est assez obscur, s'en référer à "complex analysis" de Alhfors

la différentielle est une similitude car comme application C linéaire
elle n'est rien d'autre que la multiplication du nombre dérivé (qui a un module et un argument)
avec h, qui a aussi un module et un argument.

Amha, le truk est de poser les définitions dans C, proprement
et d'en déduire les contraintes vis à vis de la linéarité:
Cauchy-Riemann et

Il faut bien que tu comprennes ce qui se passe parce que , après, il y a la métrique
kalhérienne sur les variétés qui est une sorte de mixt des
distances euclidienne et hermitienne.

en tous cas, si f est holomorphe, on a

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zygomatique
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par zygomatique » 01 Mar 2015, 18:27

Sake a écrit:Bien sûr, mais comment tu calcules Az ? Barbu a donné une réponse satisfaisante je crois.


tout à fait mais ... si z = x + iy alors



et on développe ..... et on identifie avec la R-application linéaire de R² dans R ....
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE

barbu23
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par barbu23 » 01 Mar 2015, 18:30




Regardez si ça marche !?!

Cordialement. :happy3:

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par Sake » 01 Mar 2015, 18:39

mathelot a écrit:bonjour,

j'ai vû ça il y a plusieurs dizaines d'années dc c'est sans garantie.

une fonction holomorphe a une dérivée complexe (C espace vectoriel)
et une différentielle réelle 2x2

on fait des changements de variables dans le dual (en fait il y a un dual C e-v et un dual R e-v)






on définit les opérateurs de différentiation R-linéaires


R linéaires
de manière à avoir pour toute fonction R différentiable



avec
on identifie et pile-poil, on trouve que les fonctions holomorphes vérifient


ce noyau résumant les contraintes Cauchy-Riemann.

la dérivation complexe est très contraignante et on peut remplacer h réel par ih imaginaire
dans le taux d'accroissement, en utilisant l'unicité de la C-différentielle

excuse moi si c'est assez obscur, s'en référer à "complex analysis" de Alhfors

la différentielle est une similitude car comme application C linéaire
elle n'est rien d'autre que la multiplication du nombre dérivé (qui a un module et un argument)
avec h, qui a aussi un module et un argument.

Amha, le truk est de poser les définitions dans C, proprement
et d'en déduire les contraintes vis à vis de la linéarité:
Cauchy-Riemann et

Il faut bien que tu comprennes ce qui se passe parce que , après, il y a la métrique
kalhérienne sur les variétés qui est une sorte de mixt d'euclidienne et hermitienne.

en tous cas, si f est holomorphe, on a

Merci pour ta réponse complète, Mathelot. J'essaierai de la digérer :)

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par Sake » 01 Mar 2015, 18:43

zygomatique a écrit:tout à fait mais ... si z = x + iy alors



et on développe ..... et on identifie avec la R-application linéaire de R² dans R ....

Je ne vois pas pourquoi tu développes u et v, car au final on voudra trouver u et v en fonction des paramètres réels . En bref, leur développement n'aura pas d'influence sur le résultat, je me trompe ?

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par zygomatique » 01 Mar 2015, 20:40

je pars dans un sens ... barbu23 dans l'autre ....pour arriver à u et v

moi je pars de u et v pour arriver à la matrice ....

barbu23 pars de la matrice et il faut encore développer son résultat de 18h30 pour l'écrire uz + vz*

(z* = conjugué de z)

(j'utilise u et v pour ne pas avoir un indice "en exposant") ....
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE

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par Sake » 01 Mar 2015, 20:53

Merci Zigomatique

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par Sake » 25 Aoû 2015, 14:15

Bonjour,

Il y a une proposition qui énonce que pour f une fonction analytique sur un domaine pas forcément simplement connexe, pour deux contours homotopes entre eux dans ce domaine et de même orientation, les intégrales de f sur ces contours sont égales.

La démonstration de cette assertion commence en considérant deux contours que j'appellerai (1) et (2), (2) encerclant (1). On construit ensuite un contour (0) qui est défini par (0) = (1) + (') + (-2) + (") avec (') et (") deux segments "collés" reliant (1) et (2). Notons que (1) et (2) sont de même orientation donc il faut considérer (-2) = -(2) pour que (0) soit parcouru d'un seul tenant.
Il est dit qu'on découpe l'intégrale sur (0) en une somme d'intégrales sur chaque arc/contour par linéarité, que les contributions de (') et (") s'annulent, point sur lequel je suis d'accord puisque (') = -(") si on considère leur orientation respective.

Le document conclue en disant que l'intégrale sur (0) s'annule. Et c'est là que j'ai du mal à saisir la chose. Le théorème de Cauchy stipule que l'intégrale sur un contour n'est nulle que si le contour est inclus dans un ensemble simplement connexe, ce qui n'est pas forcément le cas ici. En plus, il est dit dans la preuve qu'on considère (0) homotope à un point... Si l'on devait utiliser que (0) est homotope à un point, ne serait-ce pas une redondance vis à vis de la nature de l'énoncé qu'on doit démontrer ? Si on troue l'ensemble pour le rendre doublement connexe et qu'on l'encercle par deux contours (qui sont donc homotopes), (0) ainsi formé serait un contour non homotope à un point par ailleurs, je me trompe ? D'ailleurs, l'intégrale en un point vaut-elle 0, sachant qu'il existe des cas pathologiques tels que le Dirac ?

Sur ces nombreuses questions, merci d'avance pour vos réponses.

Robot

par Robot » 25 Aoû 2015, 14:21

Oui, tu te trompes, le contour que tu notes (0) est bien homotope à un point : c'est le bord d'un domaine E qui est contenu dans le domaine de départ D. D n'est pas simplement connexe, mais E l'est : c'est un anneau que l'on a coupé le long d'un segment, donc homéomorphe à un disque ouvert.

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par Sake » 25 Aoû 2015, 14:28

Robot a écrit:Oui, tu te trompes, le contour que tu notes (0) est bien homotope à un point : c'est le bord d'un domaine E qui est contenu dans le domaine de départ D. D n'est pas simplement connexe, mais E l'est : c'est un anneau que l'on a coupé le long d'un segment, donc homéomorphe à un disque ouvert.

Yes ! J'arrivais pas vraiment à décrire ma figure mais je m'aperçois maintenant que c'est vraiment utile d'utiliser la notion d'homéomorphisme pour passer d'un ensemble à un autre sans perte des propriétés topo.
Ok pour ça c'est compris, et ce qu'on utilise du coup c'est que (0) est frontière de cet espace E qui est simplement connexe, et donc qu'il est à la limite inclus dans E sans savoir si E est ouvert ou fermé ? Parce que le théorème de Cauchy tel qu'il m'est présenté n'est pas vraiment clair sur les propriétés topologiques de l'espace considéré, excepté qu'il doit être simplement connexe... Est-ce toujours vrai sur la frontière ?

Merci pour la réponse rapide.

Robot

par Robot » 25 Aoû 2015, 16:41

Ce qui est clair, c'est que le chemin est homotope à un point à l'intérieur du domaine de départ.

 

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