Probabilités et vecteurs : observation bizarre

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stocke
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Probabilités et vecteurs : observation bizarre

par stocke » 25 Aoû 2015, 14:48

Bonjour,
je n'arrive pas à avancer sur ce problème de probabilité :
J'ai N vecteurs.
Leurs modules sont respectivement 1 ; 1/2 ; 1/4 ; 1/8 ; etc jusqu'à 1/2^(N-1)
Leurs arguments sont tirés aléatoirement sur les 360° selon une loi de probabilité uniforme.
En faisant la somme de ces N vecteurs, j'obtiens un nouveau vecteur S.
Je cherche à déterminer l'espérance (ou encore mieux la fonction de densité de probabilité) du module de ce vecteur S, c'est là que je suis bloqué.

J'ai essayé de faire une conjecture en générant 10^6 fois ce vecteur S (avec les règles ci-dessus et pour N=100) et en traçant l'histogramme de son module. Je m'attendais à une forme en "cloche", mais étonnamment, j'obtiens un histogramme à deux bosses (une autour de 0.8, et une plus grande autour de 1.3).
Je n'arrive pas expliquer pourquoi on obtient ces deux bosses.
Cette observation vous semble-t-elle normale ? Y a-t-il un moyen d'obtenir la fonction de densité de probabilité analytiquement ? Merci



lionel52
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par lionel52 » 25 Aoû 2015, 15:37

Bah plus N est grand plus tu rajoutes un vecteur très très petit donc normal x)

stocke
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par stocke » 25 Aoû 2015, 15:54

désolé, je ne cherchais pas à expliquer pourquoi ça ne dépend pas de N, mais pourquoi on observe 2 bosses sur l'histogramme, et non une seule.

beagle
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par beagle » 25 Aoû 2015, 16:26

j'y connais que couic en vecteur module et argument
mais ce sont probablement les deux premiers qui sont déterminants, déjà le troisième moins
donc bingo un vecteur,
1/2 le second vecteur sera dans un demi-cercle mème coté, et 1/2 sera dans le demi-cercle opposé
d'où les deux distributions
...
par exemple,
sinon c'est du à autre chose...
L'important est de savoir quoi faire lorsqu'il n' y a rien à faire.

emdro
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par emdro » 25 Aoû 2015, 16:40

Bonjour,

j'ai fait des simulations et j'obtiens aussi deux bosses dans l'histogramme. Une petite un peu en dessous de 1 et une grosse un peu au-dessus.

Si tu regardes bien, le creux entre les deux bosses est exactement situé autour de la norme 1. Et j'ai l'intuition qu'il est effectivement difficile pour le vecteur S d'avoir une norme qui vaut 1. Je continue de chercher pourquoi...

emdro
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par emdro » 25 Aoû 2015, 16:56

Comme dit Beagle, les deux premiers vecteurs aident à bien comprendre le phénomène.

Refais tes simulations avec juste 2 vecteurs (un de norme 1, et l'autre de norme 1/2) au lieu de 100.
Tu verras déjà apparaître le phénomène : pas mal de normes accumulées autour de 1/2, encore plus autour de 3/2 (les extrémités) et un creux entre les deux.

Si on considère que le premier vecteur avait pour angle polaire 0, tu peux le tracer entre O(0,0) et A1 de cordonnées (1,0).
Le deuxième vecteur part de A1 (1,0) et son extrémité A2 est sur le cercle C de centre A1(1,0) et de rayon 1/2.

Trace ce cercle. Tu verras en t'amusant à tracer quelques cercle concentriques de centre O (les lignes de niveau de la norme de ton vecteur S) que cette famille est :
*"tangente" au cercle C au point de coordonnées (1/2,0) : pas mal d'angles du deuxième vecteur nous amènent à une norme de S proche de 1/2
*"tangente" au cercle C au point de coordonnées (3/2,0) : pas mal d'angles du deuxième vecteur nous amènent à une norme de S proche de 3/2
*"orthogonale" au cercle C à ses points d'intersection avec le cercle trigo. Ce qui explique qu'il est assez rare d'avoir une norme de 1 pour la somme des deux premiers vecteurs.

C'est intuitif. Reste à mettre cela en forme, et à considérer l'infinité des vecteurs suivants !!

emdro
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par emdro » 25 Aoû 2015, 17:06

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stocke
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par stocke » 25 Aoû 2015, 17:07

emdro a écrit:Bonjour,

j'ai fait des simulations et j'obtiens aussi deux bosses dans l'histogramme. Une petite un peu en dessous de 1 et une grosse un peu au-dessus.

Si tu regardes bien, le creux entre les deux bosses est exactement situé autour de la norme 1. Et j'ai l'intuition qu'il est effectivement difficile pour le vecteur S d'avoir une norme qui vaut 1. Je continue de chercher pourquoi...


je ne pense pas qu'il soit difficile d'obtenir une norme qui vaut 1. D'ailleurs dans l'histogramme on voit que 1 tombe beaucoup plus souvent que 0.2 ou 1.7 par exemple. C'est juste qu'il tombe effectivement moins souvent que 0.9 et 1.1 par exemple.

Je crois avoir un début de réponse en ce qui concerne les deux bosses. Il faut effectivement partir du principe que les deux premiers vecteurs vont être prédominants. Une fois le premier vecteur tracé (dont la norme vaut 1), le deuxième vecteur arrivera sur un cercle de rayon 1/2, et on voit qu'il y a plus de points du cercle qui vont augmenter la norme totale que de points qui vont la faire baisser. Comme les angles sont choisis aléatoirement selon une loi uniforme, cela explique déjà pourquoi la basse de droite (>1) est plus haute dans l'histogramme.

emdro
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par emdro » 25 Aoû 2015, 17:09

stocke a écrit:je ne pense pas qu'il soit difficile d'obtenir une norme qui vaut 1. D'ailleurs dans l'histogramme on voit que 1 tombe beaucoup plus souvent que 0.2 ou 1.7 par exemple. C'est juste qu'il tombe effectivement moins souvent que 0.9 et 1.1 par exemple.


Oui, on est d'accord. C'était difficile relativement par rapport à 0.9 ou 1.1.
Évidemment, pour avoir une norme proche de 2, il faut que tous les vecteurs aient le même angle polaire, ce qui est pour le coup extrêmement rare...

stocke
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par stocke » 25 Aoû 2015, 17:12

Oui, je comprend maintenant bien pourquoi on obtient ces résultats. Par contre as-tu une idée de comment s'y prendre pour mettre ça en forme mathématiquement et déterminer la moyenne de la norme finale ?

emdro
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par emdro » 25 Aoû 2015, 17:16

stocke a écrit:Oui, je comprend maintenant bien pourquoi on obtient ces résultats. Par contre as-tu une idée de comment s'y prendre pour mettre ça en forme mathématiquement et déterminer la moyenne de la norme finale ?


Aucune idée !

emdro
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par emdro » 25 Aoû 2015, 17:19

Tu as une valeur expérimentale (de l'espérance de la norme de S) autour de 1.063 comme moi ?

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zygomatique
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par zygomatique » 25 Aoû 2015, 21:23

salut

pour formaliser un peu ::

par transformation linéaire on passe de l'intervalle [0, 360] à l'intervalle [0, 2pi]

dans le plan complexe on cherche donc le vecteur d'affixe où t_k est un argument


la norme de ce vecteur varie donc dans l'intervalle

l'extrémité A_1 de s_1 appartient au cercle trigonométrique
l'extrémité A_2 de s_2 appartient au cercle de centre A_1 et de rayon 1/2
l'extrémité A_3 de s_3 appartient au cercle de de centre A_2 et de rayon 1/4
...
l'extrémité A_n de s_n appartient au cercle de centre A_{n - 1} et de rayon 1/2^n


ouais bof ... juste pour garder le contact .... :lol3:
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE

Robot

par Robot » 27 Aoû 2015, 15:37

Commençons petit, avec juste deux vecteurs de norme 1 et 1/2. Soit l'angle géométrique de ces deux vecteurs, alors le carré de la norme de leur somme est . Si suit une loi uniforme sur , on en déduit que la densité de la loi de est donnée par pour . Une belle courbe en U.

beagle
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par beagle » 27 Aoû 2015, 18:15

Robot a écrit:Commençons petit, avec juste deux vecteurs de norme 1 et 1/2. Soit l'angle géométrique de ces deux vecteurs, alors le carré de la norme de leur somme est . Si suit une loi uniforme sur , on en déduit que la densité de la loi de est donnée par pour . Une belle courbe en U.


bonjour Robot,
pourquoi faut ètre entre 0,5 et 1,5 pour voir courbe en U,
et pas entre 0 et 2 pour voir la double bosse du chameau ou du dromadaire je sais plus lequel a deux bosses?
L'important est de savoir quoi faire lorsqu'il n' y a rien à faire.

 

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