Relation dans un ensemble

[PhilT]

Bonjour

Soit une relation R dans un ensemble À.

R est symétrique pour toute paire d éléments, non réflexive (ne bouclé sur aucun élément) et, quels que soient à,b et c , trois éléments distincts de A, on vérifie aRb et bRc et aRc.

Pour autant, quels que soient à et b éléments distincts de A (R est symétrique) on a aRb et bRa, mais on a pas aRa.

Ma question : R est-elle transitive ?

"En toute logique" je dirais NON, est-ce exact ? Merci de me dire

[Robot]

Dès que l'ensemble A a au moins trois éléments, ta relation R est simplement "différent de". Ce n'est bien sûr pas une relation transitive.

[emdro]

Bonjour

Soit une relation R dans un ensemble À.

R est symétrique pour toute paire d éléments, non réflexive (ne bouclé sur aucun élément) et, quels que soient à,b et c , trois éléments distincts de A, on vérifie aRb et bRc et aRc.

Pour autant, quels que soient à et b éléments distincts de A (R est symétrique) on a aRb et bRa, mais on a pas aRa.

Ma question : R est-elle transitive ?

"En toute logique" je dirais NON, est-ce exact ? Merci de me dire

Bonjour,

Il y a plusieurs problèmes dans ce que tu dis:
* une relation non réflexive est telle qu'il existe un élément a tel que a ne soit pas en relation avec lui-même. Tu as dit qu'aucun élément ne bouclait sur lui-même, ce n'est pas pareil...
* ensuite tu dis que dès que a,b,c sont distincts, on vérifie aRb et bRc et aRc.
Si c'est bien le cas, on préfère dire que si a, b sont distincts, on verifie aRb. Aurais- tu confondu ET et IMPLIQUE?
*enfin, mais c'est moins grave, la relation est symétrique ou pas. On ne dit pas symétrique pour tout couple...

[Robot]

* ensuite tu dis que dès que a,b,c sont distincts, on vérifie aRb et bRc et aRc.
Si c'est bien le cas, on préfère dire que si a, b sont distincts, on verifie aRb.

Ce n'est pas pareil si A a moins de 3 éléments. :lol3:

[emdro]

Ce n'est pas pareil si A a moins de 3 éléments. :lol3:

Merci, j'en ai bien conscience... Mais ce n'est pas la peine de troubler le message, du moins dans un premier temps.

[Robot]

Si on corrige des erreurs, mieux vaut ne pas en ajouter de nouvelles (ça serait encore plus troublant).

[emdro]

Mais chaque chose en son temps. Il m'apparaissait plus urgent de commencer par remettre les choses solidement en place avant de considérer les cas particuliers peu intéressants.

Se tromper dans la négation de "R est réflexive" méritait qu'on s'y attarde. C'est plus important à mon avis, que de donner la réponse brute à un problème qui n'est même pas correctement posé...

En tout cas, c'est mon point de vue.

[Robot]

Ma réponse brute a pour but de faire réfléchir PhilT : est-ce bien ce qu'il voulait dire ? On verra ce qu'il en tire.

[PhilT]

Bonjour,

Il y a plusieurs problèmes dans ce que tu dis:
* une relation non réflexive est telle qu'il existe un élément a tel que a ne soit pas en relation avec lui-même. Tu as dit qu'aucun élément ne bouclait sur lui-même, ce n'est pas pareil...
* ensuite tu dis que dès que a,b,c sont distincts, on vérifie aRb et bRc et aRc.
Si c'est bien le cas, on préfère dire que si a, b sont distincts, on verifie aRb. Aurais- tu confondu ET et IMPLIQUE?
*enfin, mais c'est moins grave, la relation est symétrique ou pas. On ne dit pas symétrique pour tout couple...

Merci pour vos réponses.

Je pense que je ne me suis pas bien fat comprendre, c'est normal, l'énoncé original est donné sous forme d'un diagramme cartésien que je n'ai pas pu/su reproduire.

Imaginez svp un tableau cartésien de la relation R dans un ensemble A- comprenant 3 éléments a,b et c -, qui indique, sous forme de croix à l'intersection des lignes et colonnes pour lesquels les éléments sont en relation par R :
a R b
a R c
b R a
b R c
c R a
c R b

on demande :
R est-elle réflexive, symétrique, transitive ?

réflexive : NON
symétrique : OUI puisque chaque fois qu'un élément est en relation avec un autre, la relation réciproques est établie, ou pour l'écrire sous forme de proposition : Si a R b ALORS b R a

transitive : c'est là que j'avais un doute sur mon raisonnement :
certes j'ai noté que on a a R b et b R c et (ce 2ème et choque, je comprends, je le remplace par 'mais aussi') a R c, ce qui sous forme de proposition s'écrit ,

mais je note qu'on a aussi a R b, b R a, pour autant on a pas a R a ; donc bien qu'on ne prenne en compte que 2 éléments de A, peut-on valablement statuer sur la transitivité de R ? Là je réponds oui (pour statuer) et donc que de ce fait R n'est pas transitive.

De façon plus générale, ma question aurait pu être : faut-il nécessairement considérer 3 éléments distincts d'un ensemble pour étudier la transitivité d'une relation au sein de cet ensemble.

Les exemples de cours (ou sur internet) mentionnent toujours 3 éléments, supposés distincts ; je veux savoir si j'ai bien compris ce que transitivité veut dire ?
SI, par une relation R dans un ensemble,
un premier élément d'un ensemble est en relation par R avec un deuxième élément de cet ensemble
ET
que ce deuxième élément est en relation par R avec un troisième élement de cet ensemble
ALORS
le premier élément doit être en relation avec le troisième par R

MAIS.....et c'est là que je m'interroge

si le troisième élément est égal au premier, alors, pour qu'il y ait transitivité, il faut/faudrait que le premier élément soit en relation avec lui-même ? (boucle sur lui même comme j'ai écrit dans mon premier message) ?
Ici aucun élément n'étant en relation avec lui-même, mais nous trouvant en présence d'éléments qui sont réciproquement en relation l'un avec l'autre, j'en conclus que la relation R ne peut pas être transitive...

Ai-je raison, tort ? Suis-je plus clair ?

Merci de me dire

[PhilT]

Bonjour,

Il y a plusieurs problèmes dans ce que tu dis:
* une relation non réflexive est telle qu'il existe un élément a tel que a ne soit pas en relation avec lui-même. Tu as dit qu'aucun élément ne bouclait sur lui-même, ce n'est pas pareil...
* ensuite tu dis que dès que a,b,c sont distincts, on vérifie aRb et bRc et aRc.
Si c'est bien le cas, on préfère dire que si a, b sont distincts, on verifie aRb. Aurais- tu confondu ET et IMPLIQUE?
*enfin, mais c'est moins grave, la relation est symétrique ou pas. On ne dit pas symétrique pour tout couple...

Merci pour vos réponses.

Je pense que je ne me suis pas bien fat comprendre, c'est normal, l'énoncé original est donné sous forme d'un diagramme cartésien que je n'ai pas pu/su reproduire.

Imaginez svp un tableau cartésien de la relation R dans un ensemble A- comprenant 3 éléments a,b et c -, qui indique, sous forme de croix à l'intersection des lignes et colonnes pour lesquels les éléments sont en relation par R :
a R b
a R c
b R a
b R c
c R a
c R b

on demande :
R est-elle réflexive, symétrique, transitive ?

réflexive : NON
symétrique : OUI puisque chaque fois qu'un élément est en relation avec un autre, la relation réciproques est établie, ou pour l'écrire sous forme de proposition : Si a R b ALORS b R a

transitive : c'est là que j'avais un doute sur mon raisonnement :
certes j'ai noté que on a a R b et b R c et (ce 2ème et choque, je comprends, je le remplace par 'mais aussi') a R c, ce qui sous forme de proposition s'écrit ,

mais je note qu'on a aussi a R b, b R a, pour autant on a pas a R a ; donc bien qu'on ne prenne en compte que 2 éléments de A, peut-on valablement statuer sur la transitivité de R ? Là je réponds oui (pour statuer) et donc que de ce fait R n'est pas transitive.

De façon plus générale, ma question aurait pu être : faut-il nécessairement considérer 3 éléments distincts d'un ensemble pour étudier la transitivité d'une relation au sein de cet ensemble.

Les exemples de cours (ou sur internet) mentionnent toujours 3 éléments, supposés distincts ; je veux savoir si j'ai bien compris ce que transitivité veut dire ?
SI, par une relation R dans un ensemble,
un premier élément d'un ensemble est en relation par R avec un deuxième élément de cet ensemble
ET
que ce deuxième élément est en relation par R avec un troisième élement de cet ensemble
ALORS
le premier élément doit être en relation avec le troisième par R

MAIS.....et c'est là que je m'interroge

si le troisième élément est égal au premier, alors, pour qu'il y ait transitivité, il faut/faudrait que le premier élément soit en relation avec lui-même ? (boucle sur lui même comme j'ai écrit dans mon premier message) ?
Ici aucun élément n'étant en relation avec lui-même, mais nous trouvant en présence d'éléments qui sont réciproquement en relation l'un avec l'autre, j'en conclus que la relation R ne peut pas être transitive...

Ai-je raison, tort ? Suis-je plus clair ?

Merci de me dire

[Robot]

Les exemples de cours (ou sur internet) mentionnent toujours 3 éléments, supposés distincts ; je veux savoir si j'ai bien compris ce que transitivité veut dire ?

Non, pas supposés distincts. Par définition, une relation R sur A est transitive quand, pour tous a,b,c de A, si aRb et bRc alors aRc. Rien n'est dit sur a,b,c, en particulier pas qu'ils sont distincts.