Suites

[kadaid]

Bonjour

f(x)=(x-1)*e^(1/x) sur]-oo;0[

Résultats des premières questions:
f est strictement croissante sur ]-oo;0[
lim f(x)=-oo en -oo et lim f(x)=0 en 0
f(x)>x sur ]-oo;0[

On définit la suite U par U0=-3 et pourt tout n, U(n+1)=f(Un)
On démontre que:
Un0 (là j'utilise le fait que Un et U(n+1) sont de même signe car U(n+1)-Un ne donne rien...)
U(n+1)/Un=((Un-1)*e^(1/Un))/Un=1-1/Un*e^(1/Un)
1-1/Un*e^(1/Un)>1 car Un<0
donc U croissante

b) montrer que U converge et calculer sa limite
U croissante et Un<0 alors U converge
Soit l sa limite
l=(l-1)*e^(1/l)

Là je bloque pour résoudre cette équation.

Merci pour vos commentaires

[CBMaths_prof]

Bonsoir,

La résolution de l'équation n'est pas possible algébriquement.

Mais on peut remarquer que est une solution (évidente ?) de l'équation.

[CBMaths_prof]

Bonsoir,

Est-ce que tu as tracé graphiquement les termes de la suite ?

Il me semble que l'équation que tu nous proposes ne peut pas être résolu algébriquement.

[capitaine nuggets]

Salut !

Je rejoins CBMaths_prof, l'équation ne peut pas être résolue algébriquement du fait qu'on ne peut pas isoler .

Pour résoudre l'équation, tu dois déterminant quand est-ce que la fonction s'annule en étudiant ses variations.

[kadaid]

Bonjour

Le tracé graphique des termes ne me donne rien mais la table donne 0 pour n=17.
On peut conjecturer que lim Un=0

Pour g(x)=f(x)-x
g'(x)=e^(1/x)*(x²-x+1)/(x²)-1
g'(x)=0 alors e^(1/x)*(x²-x+1)/(x²)-1=0
et là non plus on ne peut pas résoudre à la main!

[effet]

On fait on peut pas trouver f(x)>x sur ]-oo;0[ est ce qu vous avez vérifié g(x)=f(x)-x sa dérivé on bloque sur son signe

Et pour l=(l-1)*e^(1/l) on tombe sur -ln(l)=ln(l) ce qui est impossible

[CBMaths_prof]

Et pour l=(l-1)*e^(1/l) on tombe sur -ln(l)=ln(l) ce qui est impossible

Comment ça ? :doh:

[effet]

Comment ça ? :doh:

Pardon erreur de calcul concernant l=(l-1)*e^(1/l)

[effet]

Il doit y avoir une erreur dans l'ennoncé ,on fait ce qu on doit montrer c est que f(x) x

U(n) est croissante et majorée par 0 donc elle converge et sa limite est 0

En la traçant on trouve bien ce résultat
voila les points
(-0.5; -0,2)
(-1 ; -0,73)
(-2 ; -1,82)
(-3 ; -2,86)

Voila vérifiez avec moi svp

[kadaid]

Bonjour

On démontre bien que f(x)>x sur ]-oo;0[
D'ailleurs le graphique de f et de y=x nous montre bien que la courbe de f est au dessus de la droite (d) y=x

J'ai une idée, ça vaut ce que ça vaut:

Puisque:
f est strictement croissante sur ]-oo;0[
lim f(x)=-oo en -oo et lim f(x)=0 en 0
lim x en 0 est 0
f(x)>x sur ]-oo;0[

Cela nous prouve bien que Cf et (d) converge vers 0 (peut être le mot converge est impropre ici) et on peut en déduire que lim U=0

[chan79]

Salut
Pour la croissance de U:
si

comme f est croissante


soit


Il faut aussi comparer et

Pour la limite, on pourrait prolonger f par continuité
g(0)=0
g(x)=f(x) si x non nul

[kadaid]

Bonjour Chan

Oui c'est plus simple à l'aide de de pour montrer la croissance de U

Ce que j'ai fait, ci dessous, est ce correcte ?

a) Etudier les variations de U
Puisque U(n+1)0 (là j'utilise le fait que Un et U(n+1) sont de même signe car U(n+1)-Un ne donne rien...)
U(n+1)/Un=((Un-1)*e^(1/Un))/Un=1-1/Un*e^(1/Un)
1-1/Un*e^(1/Un)>1 car Un<0
donc U croissante