Défi probabilités (dénombrement)

[Landstockman]

Bonjour,

Voici un problème que j'ai posé à de nombreuses personnes (pourtant d'un bon niveau en maths) sans avoir pu obtenir de réponse... :lol3:

L'énoncé est le suivant :

Dans un lycée, un professeur fait passer des oraux de langue. Il interroge 30 élèves, qui doivent tirer au sort un thème parmi 4 (la probabilité de tirer chaque thème est la même).
Quelle est la probabilité pour que, au moins une fois, au moins 4 élèves d'affilée tirent le même thème ?

Aussi, est-il possible de généraliser au maximum cette situation ?

Merci d'avance et bon courage ! :zen:

[floomc]

Le premier élève peut tirer n'importe quel énoncé et les autres ont successivement une chance sur 4 de tirer le même que le 1er.

Le calcul est donc 1*(1/4)*(1/4)*(1/4)= 1.56%

[Landstockman]

Le premier élève peut tirer n'importe quel énoncé et les autres ont successivement une chance sur 4 de tirer le même que le 1er.

Le calcul est donc 1*(1/4)*(1/4)*(1/4)= 1.56%

Merci floomc mais ce calcul correspond au cas où seuls 4 élèves passent...
La question (peut être mal posée) était de savoir la probabilité de trouver 4 mêmes thèmes d'affilée parmi les 30 élèves.

Il peut par exemple s'agir des élèves nº1/2/3/4 qui tirent le même thème, ou bien des élèves nº15/16/17/18

:lol3:

[Cauchy2010]

Le premier élève peut tirer n'importe quel énoncé et les autres ont successivement une chance sur 4 de tirer le même que le 1er.

Le calcul est donc 1*(1/4)*(1/4)*(1/4)= 1.56%

De plus, ce calcul est parfaitement inexact.

[nodjim]

J'aurais dit 1-(63/64)^27 soit environ 0.346

[Landstockman]

J'aurais dit 1-(63/64)^27 soit environ 0.346

Merci Nodjim mais est ce qu'il serait possible de l'expliquer ?
(ou peut être est-ce trop compliqué...?)

[nodjim]

Pour 1234=a=1/64=p4
Pour 1234+2345=p5:
p5=(1-p4)a+p4=(1-a)a+a
pn=(1-p(n-1))a+p(n-1)
Donc, les successifs:
a
a(1-a)+a
(a(1-a)+a)(1-a)+a
((a(1-a)+a)(1-a)+a)(1-a)+a
etc...
qui donne 1-(1-a)^27

[Ben314]

Salut,
Si on note
- la proba qu'au bout de n tirage, on en ait jamais eu 4 identiques et que le dernier soit différent de l'avant-dernier.
- la proba qu'au bout de n tirage, on en ait jamais eu 4 identiques et que les deux derniers soient les même mais qu'ils soient différent de l'avant-avant-dernier.
- la proba qu'au bout de n tirage, on en ait jamais eu 4 identiques et que les trois derniers soient les même mais qu'ils soient différent de l'avant-avant-avant-dernier.
- la proba qu'au bout de n tirage, on ait eu au moins une fois 4 tirages successifs identiques.
Alors , pour tout , on a : et la valeur cherchée est
On peut trouver de façon exacte les valeurs de an,bn,cn,dn en fonction de n (modulo d'avoir les racines d'un polynôme de degré 4), mais si on a la flemme, on peut aussi utiliser un bon vieux tableur qui donne

EDIT : la "méthode Nodjim" ne marche pas du fait que l'évènement "les tirages 1 à 4 ne sont pas identiques" n'est pas indépendant de l'évènement "les tirages 2 a 5 ne sont pas identique" donc la proba. que les deux évènement se produisent n'est pas égal au produit des deux proba. Mais le résultat trouvé n'est pas archi éloigné du bon vu que, par exemple, l'évènement "les tirages 1 à 4 ne sont pas identiques" est indépendant de "les tirages 5 à 8 ne sont pas identiques".

[Landstockman]

Merci beaucoup Ben314 pour ta réponse !!!
Je vais réfléchir à ça maintenant

[Mr Hall]

Je confirme la réponse de Ben 314 à propos du tableur.

J'ai conçu un programme Perl :

$q = 0;
for ($i = 1; $i <= 1000000; $i++)
{
$str = "";
for ($pupil = 1; $pupil <= 30; $pupil++)
{
$alea = 1 + int(rand(4));
$str = "$str$alea";
}
if (($str =~ /1111/) or ($str =~ /2222/) or ($str =~ /3333/) or ($str =~ /4444/))
{
$q = $q + 1;
}
}
$t = $q / 1000000;
print "Proba = $q sur 1 million\n soit P = $t \n";

On génère une chaîne de caractère dans laquelle 30 élèves ont choisi un thème (ici un chiffre de 1 à 4 par élève).
Quand 4 élèves obtiennent d'affilée le même thème, c'est possible non seulement quand le quadruplet de chiffres commence dès le premier élève, mais c'est possible aussi quand ce quadruplet apparaît n'importe où dans la chaîne.

Mon résultat indique une probabilité de 0,283.