Involutions

Discussion générale entre passionnés et amateurs de mathématiques sur des sujets mathématiques variés
Matt_01
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Involutions

par Matt_01 » 06 Aoû 2015, 21:52

Bonjour,

Un petit problème que je n'arrive pas à résoudre :
Soit G un groupe fini. On suppose qu'ils existent deux involutions différentes du neutre. Montrer qu'elles sont conjuguées, ou qu'il existe une involution qui commute avec les deux.

J'ai manipulé les classes d'équivalence (pour la relation de conjugaison), et les centralisateurs, ou encore tenté une récurrence (j'ai l'impression qu'on peut supposer que G est engendré par les deux involutions), mais je n'ai pas abouti au résultat final. Quelqu'un a une idée ?



Doraki
Habitué(e)
Messages: 5021
Enregistré le: 20 Aoû 2008, 13:07

par Doraki » 06 Aoû 2015, 22:47

Appelle x et y les deux involutions. Il suffit en effet de montrer ou infirmer le résultat pour le groupe fini engendré par x et y.
Comme le groupe est fini et que x et y sont non triviaux, il existe n tel que (xy)^n = (yx)^n = 1.

Si n=2m alors (xy)^m est une involution et (xy)^m.x.(yx)^m = x donc elle commute avec x (et de même avec y).

Si n=2m+1 alors (xy)^m.x.(yx)^m = y donc x et y sont conjugués.

Matt_01
Habitué(e)
Messages: 609
Enregistré le: 30 Avr 2008, 19:25

par Matt_01 » 06 Aoû 2015, 23:35

Doraki a écrit:Appelle x et y les deux involutions. Il suffit en effet de montrer ou infirmer le résultat pour le groupe fini engendré par x et y.
Comme le groupe est fini et que x et y sont non triviaux, il existe n tel que (xy)^n = (yx)^n = 1.

Si n=2m alors (xy)^m est une involution et (xy)^m.x.(yx)^m = x donc elle commute avec x (et de même avec y).

Si n=2m+1 alors (xy)^m.x.(yx)^m = y donc x et y sont conjugués.

Merci Doraki.
Je pensais que ce serait un peu plus subtil (je vois pas réellement à quoi c'est dû finalement).

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