Je bute sur deux calculs a priori simples, c'est juste mathématique. Il me faut montrer que :
(1) :
J'ai auparavant montré que
J'ai montré que
(2) Il me faut montrer aussi que
Mécanique Quantique
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Mécanique Quantique
par Sake » 22 Juil 2015, 21:16
Bonsoir,
Je bute sur deux calculs a priori simples, c'est juste mathématique. Il me faut montrer que :
(1) :
J'ai auparavant montré que \mathrm{d}x)
et normalement, en faisant juste une IPP, je devrais retomber sur mes pattes. J'arrive pour l'instant à  \mathrm{d}x)
.
J'ai montré que \mathrm{d}x = 0)
car 
et 
sont des paquets d'onde (et ont donc une extension spatiale limitée), mais pour l'autre calcul je bogue.
(2) Il me faut montrer aussi que \mathrm{d}x = -\frac{i\hbar}{m}\int \psi^* \frac{\partial \psi}{\partial x} \mathrm{d}x)
et je ne vois pas à vue d'il une façon de prouver la deuxième égalité.
Je bute sur deux calculs a priori simples, c'est juste mathématique. Il me faut montrer que :
(1) :
J'ai auparavant montré que
J'ai montré que
(2) Il me faut montrer aussi que
par Sake » 24 Juil 2015, 18:05
Salut Mathelot,
psi* est le conjugué de la fonction d'onde (complexe) psi.
mathelot a écrit:que signifie "*" ?
psi* est le conjugué de la fonction d'onde (complexe) psi.
par mathelot » 24 Juil 2015, 19:00
Sake a écrit:(2) Il me faut montrer aussi queet je ne vois pas à vue d'il une façon de prouver la deuxième égalité.
en passant tout à gauche, on trouve
qui donne une intégrale nulle sur un lacet homotope à un point.
par Sake » 24 Juil 2015, 22:05
mathelot a écrit:en passant tout à gauche, on trouve
qui donne une intégrale nulle sur un lacet homotope à un point.
Mais oui, bien sûr !
En faisant passer tout à gauche, j'ai plus que :
Merci Mathelot !
PS : Ce qui me chiffonne, c'est la manière dont on arrive d'une manière évidente du terme de gauche au terme de droite. L'égalité est en effet triviale si on étudie ta méthode, mais le "sens" dans lequel l'égalité est formulée implique en filigrane qu'il y a déduction, je me trompe ?
par Sake » 06 Aoû 2015, 15:28
J'ai un nouveau problème,
Je dispose de = \left( \pi\sigma^2\hbar^2 \right)^{-\frac{1}{4}} \exp\left(-\frac{(p-p_0)^2}{2\sigma^2\hbar^2}\right))
un paquet d'onde gaussien.
La question en amont consiste à montrer qu'on a
pour t=0. Mon premier soucis est de calculer les quantités 
et 
qui peuvent être interprétés comme étant les écart-types (dispersions) des grandeurs x et p, se définissant ainsi :
^2 = \langle x^2\rangle - \langle x\rangle^2)
Pour ce faire, j'ai besoin de calculer
et 
, accessibles seulement par le calcul de la fonction d'onde car en 1-D, le centre de la distribution formant le paquet d'onde correspond à |^2 \mathrm{d}x)
.
Or = \frac{1}{\(2\pi \hbar\)^{\frac{3}{2}}} \int \phi(\bar p) e^{i\(\bar p\cdot \bar r - Et\)/\hbar} \mathrm{d}^3 p)
, et pour t = 0, selon la composante x, on a ici :
 = \frac{1}{\(2\pi \hbar\)^{\frac{3}{2}}} \int \phi(p) e^{ipx/\hbar} \mathrm{d} p)
En remplaçant)
dans cette équation, j'ai :
 = \frac{\( \pi \sigma^2 \hbar^2\)^{-\frac{1}{4}}}{\(2\pi \hbar\)^{\frac{3}{2}}} \int e^{-\frac{(p-p_0)^2}{2\sigma^2\hbar^2}} e^{ipx/\hbar} \mathrm{d} p)
et le corrigé succinct indique qu'il faut aboutir à  = \(\frac{\sigma^2}{\pi}\)^{\frac{1}{4}}e^{ip_0x/\hbar}e^{-x^2\sigma^2/2})
.
Pour l'instant, j'ai essayé un timide changement de variable
sans doute dans l'espoir inconscient de me retrouver avec l'intégrale d'une gaussienne. Cette maigre tentative a l'air encourageante puisque je me retrouve avec ^{-\frac{1}{4}}}{\(2\pi \hbar\)^{\frac{3}{2}}}\int e^{-Z^2} e^{i\sqrt{2}\sigma Z}e^{ip_0x/\hbar}\times \sqrt{2}\sigma \hbar \mathrm{d}Z)
mais là, le terme 
m'interroge beaucoup. Comment m'en sortir ?
Je dispose de
La question en amont consiste à montrer qu'on a
Pour ce faire, j'ai besoin de calculer
Or
En remplaçant
Pour l'instant, j'ai essayé un timide changement de variable
par Sake » 06 Aoû 2015, 21:30
Tout compte fait, je pense qu'en "complétant le carré", je trouverai quelque chose.
PS : Ah oui, c'était^{-\frac{1}{4}}}{\(2\pi \hbar\)^{\frac{3}{2}}}\int e^{-Z^2} e^{i\sqrt{2}\sigma Z x}e^{ip_0x/\hbar}\times \sqrt{2}\sigma \hbar \mathrm{d}Z)
, j'avais oublié un x sur le terme problématique !!
PS : Ah oui, c'était
par Sake » 06 Aoû 2015, 21:46
Pardon pour le troisième message d'affilée, mais j'obtiens :
 = \frac{\sqrt{2}\sigma \hbar\( \pi \sigma^2 \hbar^2\)^{-\frac{1}{4}}}{\(2\pi \hbar\)^{\frac{3}{2}}}e^{-\sigma^2 x^2/2}e^{ip_0 x/\hbar}\int e^{\(iZ+\frac{\sigma x}{\sqrt{2}}\)^2} \mathrm{d}Z)
Je sens que je suis pas loin du résultat, mais il ne reste plus que cette intégrale gaussienne complexe, que je saurais calculer si l'exponentielle n'était pas complexe... Quelqu'un saurait m'aider ? Ce serait cool puisque je suis pas loin de la fin de ce calcul moche.
Je sens que je suis pas loin du résultat, mais il ne reste plus que cette intégrale gaussienne complexe, que je saurais calculer si l'exponentielle n'était pas complexe... Quelqu'un saurait m'aider ? Ce serait cool puisque je suis pas loin de la fin de ce calcul moche.
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