Une petite proba

Olympiades mathématiques, énigmes et défis
nodgim
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Une petite proba

par nodgim » 09 Mar 2009, 21:17

Avec un peu d'arithmétique.
Dans une suite de 0 et 1 mis au hasard, quelle probabilité d'arriver au centième chiffre sans avoir rencontré un seul triplet (ni 000, ni 111) ?
Facile si on s'y prend bien.
Méthode chevaline de trait s'abstenir.
Doraki s'abstenir, tout au moins pour les 2 jours à venir.. :hein:



Imod
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par Imod » 10 Mar 2009, 01:20

nodgim a écrit:Méthode chevaline de trait s'abstenir.
Doraki s'abstenir, tout au moins pour les 2 jours à venir.. :hein:

C'est vrai qu'il vont trop vite ces jeunes , on a à peine le temps de comprendre la question , qu'ils ont déjà trois solutions à proposer , il faudrait créer une une sous section enigmus-brontosaurus pour les anciens :fr:

Imod

Joker62
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par Joker62 » 10 Mar 2009, 03:46

Pourquoi je hais autant cette partie du site ? :D

Imod
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par Imod » 10 Mar 2009, 12:49

Joker62 a écrit:Pourquoi je hais autant cette partie du site ? :D

Bonne question , personnellement avec la section "Olympiades" , c'est de loin ma préférée .

Imod

Galax
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par Galax » 10 Mar 2009, 13:43

Soit XY(n) le nombre de séquences de n chiffres (0 ou 1) valides se terminant par XY
La probabilté que l'on cherche est donc
P(n) = (00(n)+01(n)+10(n)+11(n))/2^n
On a par symetrie, 01(n) = 10(n) et 00(n) = 11(n)
Pour satisfaire la contrainte on a
01(n+1) = 00(n)+10(n) = 00(n)+01(n) et
00(n+1) = 10(n) = 01(n) d'où
01(n+1) = 01(n)+01(n-1)

on a donc P(n) = (2.F(n)+2.F(n-1))/2^n

avec F(n) = nieme terme de la suite de Fibonacci

Joker62
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par Joker62 » 10 Mar 2009, 14:50

En fait j'aime pas parce que ça me fait tellement tourner en bourrique :p
J'avais cherché du côté de la décomposition dyadique et essayer de caractériser les réels qui comprenait soit 000 soit 111 mais c'était galère :(

Imod
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par Imod » 10 Mar 2009, 20:41

Joker62 a écrit:En fait j'aime pas parce que ça me fait tellement tourner en bourrique :p

Plus ça résiste et meilleur c'est , surtout si la solution est jolie :we: . Après c'est vrai qu'il faut trouver de temps pour chercher !

Imod

nodgim
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par nodgim » 10 Mar 2009, 20:51

Galax a écrit:Soit XY(n) le nombre de séquences de n chiffres (0 ou 1) valides se terminant par XY
La probabilté que l'on cherche est donc
P(n) = (00(n)+01(n)+10(n)+11(n))/2^n
On a par symetrie, 01(n) = 10(n) et 00(n) = 11(n)
Pour satisfaire la contrainte on a
01(n+1) = 00(n)+10(n) = 00(n)+01(n) et
00(n+1) = 10(n) = 01(n) d'où
01(n+1) = 01(n)+01(n-1)

on a donc P(n) = (2.F(n)+2.F(n-1))/2^n

avec F(n) = nieme terme de la suite de Fibonacci


Excellent! :id:
On peut un peu simplifier encore cette présentation en écrivant:
P(n)=F(n+1)/2^(n-1)

nodgim
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par nodgim » 10 Mar 2009, 20:56

Imod a écrit:C'est vrai qu'il vont trop vite ces jeunes , on a à peine le temps de comprendre la question , qu'ils ont déjà trois solutions à proposer , il faudrait créer une une sous section enigmus-brontosaurus pour les anciens :fr:

Imod


Ouiiiiiiiiiiii............. :ptdr:

jeancreatif
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par jeancreatif » 27 Juil 2015, 13:12

[quote="nodgim"]Avec un peu d'arithmétique.
Dans une suite de 0 et 1 mis au hasard, quelle probabilité d'arriver au centième chiffre sans avoir rencontré un seul triplet (ni 000, ni 111) ?

Je dirais 0,875

 

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