Arithmétique

[Sherlock Cainfri]

Démontrer que pour tout entiers relatifs a et b on a: si 7 divise a^2 + b^2 alors 7 divise a et 7 divise b

Merci et amusez vous :we:

[capitaine nuggets]

Salut !

Je raisonnerai modulo .
Pour , il n'est pas dur d'établir que est congru à ou modulo (avec si et seulement si ).
Ainsi, si et seulement si et .
En effet, pour congrus à ou modulo tels qu'ils ne soient pas tous deux simultanément congrus à modulo (i.e. tous deux multiples de 7), n'est jamais congru à 0 modulo 7 (i.e. n'est jamais un multiple de 7).

Après je ne sais pas si tu demandes de l'aide (le "merci") ou si tu proposes ça comme un défi (le "amusez-vous").

:+++:

[capitaine nuggets]

Une autre méthode :

divise donc on peut trouver entier relatif tel que .
En cherchant à faire apparaître une identité remarquable, on a .
Ainsi divise et . Or est un nombre premier donc par le lemme d'Euclide divise ou divise .
Il suffit alors de distinguer deux cas :
1) Si divise alors divise car on peut écrire ;
2) Si divise alors c'est analogue au cas précédent ( et jouent des rôles symétriques).
D'où la conclusion.

:+++:

[zygomatique]

salut

pourquoi

ainsi 7 divise a + b et ab

c'est évidemment vrai (d'après la question) mais il faut le démontrer ...

[Doraki]

si c'était faux tu aurais a et b non multiples de 7 tels que (tout est modulo 7) (b/a)² = -1.
Or (b/a)^7 = (b/a) (petit théorème de fermat) donc (b/a étant on nul),
1 = (b/a)^6 = ((b/a)²)^3) = (-1)^3 = -1, contradiction.

[Sherlock Cainfri]

Salut !

Je raisonnerai modulo .
Pour , il n'est pas dur d'établir que est congru à ou modulo (avec si et seulement si ).
Ainsi, si et seulement si et .
En effet, pour congrus à ou modulo tels qu'ils ne soient pas tous deux simultanément congrus à modulo (i.e. tous deux multiples de 7), n'est jamais congru à 0 modulo 7 (i.e. n'est jamais un multiple de 7).

Après je ne sais pas si tu demandes de l'aide (le "merci") ou si tu proposes ça comme un défi (le "amusez-vous").

:+++:

Cette méthode me semble assez claire :lol3:
A la base je demandais de l'aide (d'où le ''merci'') mais pour moi chaque problème de maths est comme un jeu (d'où le ''amusez vous'') :ptdr:
Sur ce, merci :zen:

[Sherlock Cainfri]

Une autre méthode :

divise donc on peut trouver entier relatif tel que .
En cherchant à faire apparaître une identité remarquable, on a .
Ainsi divise et . Or est un nombre premier donc par le lemme d'Euclide divise ou divise .
Il suffit alors de distinguer deux cas :
1) Si divise alors divise car on peut écrire ;
2) Si divise alors c'est analogue au cas précédent ( et jouent des rôles symétriques).
D'où la conclusion.

:+++:

J'ai suivi ton raisonnement mais j'ai un grand mal à admettre que si (a+b)^2 - 2ab = 7k (k élément de Z) alors 7 divise (a+b) et 7 divise ab :marteau:

[Sherlock Cainfri]

si c'était faux tu aurais a et b non multiples de 7 tels que (tout est modulo 7) (b/a)² = -1. Or (b/a)^7 = (b/a) (petit théorème de fermat) donc (b/a étant on nul), 1 = (b/a)^6 = ((b/a)²)^3) = (-1)^3 = -1, contradiction.

Merci pour ta réponse Doraki
Néanmoins, il y a deux trois trucs que je ne comprend pas. Pour moi, si la proposition était fausse, on aurait trois cas à distinguer: ''a et b non multiples de 7'' ou ''a multiple de 7 et b non multiple de 7'' ou ''a non multiple de 7 et b multiple de 7''. Ainsi utiliser la contradiction va impliquer un long raisonnement :marteau:
Maintenant, dans le cas que tu as pris ''a et b non mutilples de 7'', je n'ai pas compris ton raisonnement :mur: :happy2:

[zygomatique]

donc (1)

mais (2)

en ajoutant (1) et (2) alors

et on en déduit alors que ...

:lol3:

[Doraki]

si a est multiple de 7 alors a² aussi et donc b² aussi et donc b aussi.
Donc il suffit de montrer que le cas où a²+b² est multiple de 7 mais ni a ni b n'en sont, est impossible.