Deux questions d'analyse

[Bizarre]

Bonjour à tous,

Plutôt que de poster deux messages, je pose ici mes 2 questions, même si elles n'ont rien à voir.

1) Soient f et g deux fonctions réelles dérivables sur R qui vérifient f(x) g(x) pour tout x de R et f(0) = g(0).
a) Peut-on affirmer que f'(0) g'(0) ? Et pourquoi ?
b) Peut-on affirmer que f'(x) g'(x) pour tout x de R ? Et pourquoi ?

2) J'ai découvert l'inégalité arithmético-géométrique de Cauchy, et lu une partie de sa démonstration (pas celle avec les ln donc). Toutes les ak sont des réels positifs. A un moment de sa démonstration, il utilise à chaque fois la même inégalité (sans l'expliquer), et que je ne vois pas comment prouver :

(a1/2 + a2/2)^2 * (a3 /2+a4 /2)^2 (a1/4 + a2/4 + a3/4 + a4/4)^4

De même :

(a1/4 + a2/4 + a3/4 + a4/4)^4 * (a5/4 + a6/4 + a7/4 + a8/4)^4 (a1/8 + a2/8 + a3/8 + a4/8 + a5/8 + a6/8 + a7/8 + a8/8 ) ^8

A t'on en général ((a1+....+an)/n)^n * ((an+1 + .... + a2n)/n)^n ((a1+....+ an + ....+ a2n) / 2n)^2n ? Si oui, comment le montrer par récurrence?

Merci !

[lionel52]

Salut !
Pour la a) cela revient à dire que si h est positive et h(0) = alors h'(0) >=0.
Ce qui est vrai car pour x > 0 h(x)/x >= 0 et h(x)/x -> h'(0) quand x -> 0

pour la b) c'est faux, il suffit d'un truc un peu ocillant. J'prends des exemples pourris mais si
f(x) = 1 et g(x) = 1+exp(sin(x)) , f <= g et mais g' prend des valeurs négatives

[NiCKoLaS]

1) Oui.
Il suffit de passer à la limite quand x tend vers dans :
(pour x>0)
En se plaçant cette fois pour x<0, on montre même l'inégalité inverse d'où :

2) Non, il y a de nombreux contre-exemples (chercher du coté d'une fonction constante et d'une fonction polynomiale de degré 2).

[arnaud32]

1/a/ considere h(x)=g(x)-f(x) elle est positive, derivable et vaut 0 en 0 (qui est donc un minimum local ...
1/b/ f(x)=cos(x) et g(x)=1

[Bizarre]

Merci pour vos réponses! Je n'étais pas sûr de moi pour cette question 1) , c'est clair désormais.

Quelqu'un voit-il une idée pour la 2) ?

[arnaud32]

car

[lionel52]

On passe au logarithme et par inégalité de convexité ln((x+y)/2) >= 1/2 (ln(x) + ln(y))

[Bizarre]

Merci Lionel52, mais justement, je voulais l'explication sans utiliser le logarithme Merci quand même.

Merci Arnaud32, mais cela fait plusieurs fois que j'essaie avec cette idée, et je n'arrive pas à conclure.
Par exemple, pour prouver que (a1/2 + a2/2)^2 * (a3 /2+a4 /2)^2 (a1/4 + a2/4 + a3/4 + a4/4)^4,
en utilisant que xy ((x+y)/2)^2, je pose x= (a1/2 + a2/2)^2 et y = (a3 /2+a4 /2)^2, ce qui m'amène à :

(a1/2 + a2/2)^2 * (a3 /2+a4 /2)^2 [((a1/2 + a2/2)^2 + (a3 /2+a4 /2)^2)/2]^2

mais je n'arrive pas à poursuivre (au bout d'un moment j'ai un résultat, mais j'ai un problème de puissance de 4, et je ne montre pas l'inégalité). Peut-on m'aider à finir les calculs?

[arnaud32]

avec x et y positifs (par croissance de la fonction carre sur R+)
x= a1/2 + a2/2 et y = a3 /2+a4 /2

[Bizarre]

avec x et y positifs (par croissance de la fonction carre sur R+)
x= a1/2 + a2/2 et y = a3 /2+a4 /2

Ah oui! J'ai pas été très malin :/
Merci!