Bonjour à tous,
Plutôt que de poster deux messages, je pose ici mes 2 questions, même si elles n'ont rien à voir.
1) Soient f et g deux fonctions réelles dérivables sur R qui vérifient f(x) g(x) pour tout x de R et f(0) = g(0).
a) Peut-on affirmer que f'(0) g'(0) ? Et pourquoi ?
b) Peut-on affirmer que f'(x) g'(x) pour tout x de R ? Et pourquoi ?
2) J'ai découvert l'inégalité arithmético-géométrique de Cauchy, et lu une partie de sa démonstration (pas celle avec les ln donc). Toutes les ak sont des réels positifs. A un moment de sa démonstration, il utilise à chaque fois la même inégalité (sans l'expliquer), et que je ne vois pas comment prouver :
(a1/2 + a2/2)^2 * (a3 /2+a4 /2)^2 (a1/4 + a2/4 + a3/4 + a4/4)^4
De même :
(a1/4 + a2/4 + a3/4 + a4/4)^4 * (a5/4 + a6/4 + a7/4 + a8/4)^4 (a1/8 + a2/8 + a3/8 + a4/8 + a5/8 + a6/8 + a7/8 + a8/8 ) ^8
A t'on en général ((a1+....+an)/n)^n * ((an+1 + .... + a2n)/n)^n ((a1+....+ an + ....+ a2n) / 2n)^2n ? Si oui, comment le montrer par récurrence?
Merci !