Définition de la fonction exponentielle

[Marwanito]

Bonjour !

J'entame en ce moment le programme de Terminale S, cependant je rencontre déjà un obstacle :
Dans le manuel (Hyperbole Mathématiques), juste avant la définition de la fonction exponentielle, je trouve ça :

Soit donc f une fonction telle que f' = f et f (0) = 1 .
On considère la fonction h définie sur R par h (x) = f (x) × f (;)x). La fonction h
est le produit de deux fonctions dérivables sur R donc h est aussi dérivable sur
R et, pour tout réel x, on a :
h '(x) = f '(x) × f (;)x) + f (x) × (;)f'(;)x))
= f '(x) × f (;)x) f (x) × f '(;)x).
Comme f ' = f on obtient : h '(x) = f (x) × f (;)x) f (x) × f (;)x) = 0.

Je n'ai pas de soucis avec les égalités, mais plutôt avec l'intuition derrière : comment la multiplication f(x) X f(-x) nous permet-elle de déterminer cette fonction constante (h(x)), qui nous indique que f(x) ne s'annule pas en R ? (peut-être une propriété que j'ai manqué ?).

Merci de votre aide !

[mathelot]

bjr,
h est constante sur et vaut 1 (en x=0)

du coup f ne s'annule pas et f(-x) est l'inverse de f(x)

[Marwanito]

bjr,
h est constante sur et vaut 1 (en x=0)

du coup f ne s'annule pas et f(-x) est l'inverse de f(x)

Je comprend que f ne s'annule pas parce que h est constante et vaut 1, mais pourquoi ?

[zzoe]

Je comprends que f ne s'annule pas parce que h est constante et vaut 1, mais pourquoi ?

Bonsoir,
D'une part, h a une dérivée nulle donc elle est constante.
D'autre part, comme l'a écrit mathelot plus rapidement:
h (x) = f (x) × f (;)x) donc h (0) = f (0) × f (;)0)=1*1=1.
Ok?

Ensuite, puisque pour tout x, h (x) = h(0)=1, il n'existe pas de x0 qui annule f, sinon h(x0) serait nul aussi.

Ok?

[Marwanito]

Merci zzoe, mais ce que je ne comprend pas, c'est pourquoi on utilise f(x) x f(-x) ? Qu'est-ce que ça signifie ?

[capitaine nuggets]

Salut !

Pour tout réel , , donc l'inverse de est .
Cette égalité peut signifier que la fonction se comporte comme une fonction donc l'inconnue est un exposant, c'est-à-dire de la forme où serait à priori un réel strictement positif (par exemple, pour , on a quel que soit l'entier naturel , ).

:+++:

[zzoe]

Merci zzoe, mais ce que je ne comprend pas, c'est pourquoi on utilise f(x) x f(-x) ? Qu'est-ce que ça signifie ?

Je n'étais plus là...

On utilise f(x) x f(-x) parce que cela définit la fonction h.

On considère la fonction h définie sur R par h (x) = f (x) × f (;)x).

Par exemple, si on choisit x=3 f(-3)*f(3)=h(3). Or h est constante et égale à 1. Donc f(-3)*f(3)=1 d'où f(-3) est l'inverse de f(3) soit 1/f(3) comme le dit Capitaine nuggets de façon générale.

[zygomatique]

Merci zzoe, mais ce que je ne comprend pas, c'est pourquoi on utilise f(x) x f(-x) ? Qu'est-ce que ça signifie ?

salut

simplement une idée, une intuition, l'expérience .... qui permet de répondre à la question !!!


d'ailleurs dans ton post initial tu ne dis pas pourquoi il est fait ce qui est fait : quelle la question ?


et c'est cette question qui amène à construire cette fonction h à partir de la fonction f ...

:lol3: