Formule factorielle

[Matt_01]

Salut tout le monde,

J'ai un petit truc qui m'intrigue concernant la manière de démontrer cette égalité :

A part en utilisant la méthode des différences finies, je n'arrive pas à conclure (récurrence, changement d'indice etc ...).
Quelqu'un aurait une méthode différente de celle des différences finies ?

[capitaine nuggets]

Hello !

Sauf erreur de calculs de ma part, ton égalité est fausse : j'ai testé pour la cas et je trouve que :


et

[Matt_01]

C'est n!, pardon.

[t.itou29]

Salut,
Ça me faisait penser à la formule d'inclusion exclusion et donc à une interprétation combinatoire. J'ai eu du mal à trouver mais je crois que j'en ai une (peut-être pas la plus simple).
On considère les suites de longueur n dont les éléments sont des entiers de 0 à n (avec répétion autorisée), il y en a .
Soit l'ensemble des suites qui ne contient pas k.
On a
Le principe d'inclusion/exclusion donne


Or est l'ensemble des suites de longueur n où chacun des entiers de 1 à n est utilisé au moins une fois donc une permutation de (1,2,...,n), son cardinal est alors n!.

En remettant tout bout à bout on obtient la formule sauf erreur :we:

[Matt_01]

Ca marche, merci, j'avais pas cherché du coté des dénombrements.
Petites précisions cependant :
La formule d'inclusion exclusion donne :

[t.itou29]

Ca marche, merci, j'avais pas cherché du coté des dénombrements.
Petites précisions cependant :
La formule d'inclusion exclusion donne :

Oui j'ai oublié d'écrire les coefficients binomiaux !
Et c'est plutôt:
d'où:

[Matt_01]

Oui, pardon, je voulais juste montrer comment les coefficients binomiaux sortaient (en me doutant bien que tu les avais simplement oublié).

[t.itou29]

Oui, pardon, je voulais juste montrer comment les coefficients binomiaux sortaient (en me doutant bien que tu les avais simplement oublié).

Par curiosité j'ai regardé en quoi consiste la méthode des différences finies mais j'ai pas compris grand chose, c'est difficile à mettre en oeuvre dans cet exemple ?

[Matt_01]

En gros tu pars d'une suite u et tu fabriques la suite , alors , où est l'opérateur de différence avant ().
Dans notre cas, on prend , de cette manière (on fait en fait une "dérivation discrète", ici avec le TAF on montre que avec f -> (x+1)^n et c dans [p,p+i] il me semble) et donc en particulier pour .

[Sake]

Par curiosité j'ai regardé en quoi consiste la méthode des différences finies mais j'ai pas compris grand chose, c'est difficile à mettre en oeuvre dans cet exemple ?

La méthode des différences finies c'est juste une approximation de Taylor à un ordre donné.

[t.itou29]

En gros tu pars d'une suite u et tu fabriques la suite , alors , où est l'opérateur de différence avant ().
Dans notre cas, on prend , de cette manière (on fait en fait une "dérivation discrète", ici avec le TAF on montre que avec f -> (x+1)^n et c dans [p,p+i] il me semble) et donc en particulier pour .

Merci, je crois que je vais devoir attendre un peu pour comprendre en détail
Je viens de me rendre compte que la formule reste vraie si au lieu de i+1 on prend i+k avec k entier quelconque et donc même pour k réel ! Par contre je ne comprend pas le pourquoi ...

[Matt_01]

Parce que la dérivée n eme de x -> (x+k)^n, pour k réel vaut x -> n!.