Série de fonctions

[jonses]

Bonjour,

J'essaye de faire un exercice sur les séries de fonctions, mais je bloque depuis un moment et je suis à court d'idée. Du coup j'aurai bien besoin d'un petit coup de main svp



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On pose pour et :


J'ai montré que la série de fonction converge simplement sur et on note f sa somme, mais on me demande aussi :

1) de montrer qu'elle converge uniformément sur

2) de montrer que cette série est de classe sur et de déterminer si a une limite en 0

3) de calculer pour ,


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J'ai réussi à montrer le caractère sur ... et c'est tout.



--Pour la 1),

j'ai essayé de montrer que la série des restes converge uniformément vers 0 sur R+ (ce qui permettrait de conclure), mais pour ça j'ai vraiment du mal :

j'ai tenté une comparaison série/intégrale avec : où est fixé. Cette fonction est décroissante pour

ça me donne pour :

Mais impossible de calculer ces intégrales, ni de trouver un autre encadrement plus maniable. Depuis je tourne en rond sur cette question.



--Pour la 2) (déterminer si f' a une limite en 0)... aucune idée à part encore une comparaison série/intégrale, mais là les intégrales sont encore moins maniables que les précédentes... Du coup j'ai aucune idée comment m'y prendre


--Pour la 3) j'ai l'impression qu'il faudra utiliser un argument d'interversion limite/série... qui demande de prouver la converge uniforme de .... et là je vois encore moins comment m'y prendre que dans la 1)



Si quelqu'un peut m'aider svp
Je vous remercie d'avance pour vos réponses

[arnaud32]

cherche le maxixum par rapport a t de pour a>0 et t variant dans R+

[paquito]

atteint son maximum pour, ce maximum valant qui est le terne général d'une série numérique normalement convergente; par conséquent, ta série, majorée par une série numérique normalement convergente est uniformément convergente.

Pour la suite, il faut montrer que la série des dérivées est uniformément convergente.

[arnaud32]

atteint son maximum pour, ce maximum valant qui est le terne général d'une série numérique normalement convergente; par conséquent, ta série, majorée par une série numérique normalement convergente est uniformément convergente.

Pour la suite, il faut montrer que la série des dérivées est uniformément convergente.

je crois que ta serie diverge
https://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_de_Bertrand

[paquito]

atteint son maximum pour, ce maximum valant qui est le terne général d'une série numérique normalement convergente; par conséquent, ta série, majorée par une série numérique normalement convergente est uniformément convergente.

Pour la suite, il faut montrer que la série des dérivées est uniformément convergente.

[Doraki]

fn(t) + f(n+1)(t) + ....
= te^-nt /logn(1-e^-t)
<= te^-nt /logn(te^-t) (TAF + monotonie de -e^-t)
= e^((1-n)t) /logn
<= 1/logn

qui tend donc vers 0 indépendemment de t.

[Doraki]

fn(t) + f(n+1)(t) + ....
=0, t = log2, f(t) <= e^-t / (1-e^-log2) = 2e^-t.