Nombres 1er, du visuel à l'algébrique

[elmardi]

Bonjour à tous les génies du forum.

Je désirerais vous lancer un défis sur les nombres premiers, mais voici d'abord un support visuel :


Comme vous pouvez le constater, j'ai placé 12 lignes de nombres entiers de 1 à 12 sur mon support. (J'aurais très bien pu compter jusqu'à 1000 et mettre 1000 lignes, mais cela n'aurait pas été très lisible...) :ptdr:

J'ai ensuite entouré les nombres selon une logique verticale :
Le 1 est entouré toutes les 1 fois, le 2 toutes les 2 fois, le 3 toutes les 3 fois, etc...
(J’espère que je suis assez clair)

Il en ressort que si je regarde un numéro de ligne (en bleu), j'obtiens des facteurs pas forcément premiers dans les colonnes en rouge, mais qui réunis par paires, recomposent les nombre. (Voir en violet les différentes combinaisons)

Voici le défis que j'aimerais vous lancer :
Est-il possible, visuellement et/ou algébriquement, de repérer/calculer les facteurs d'une ligne correspondant à un nombre pris au hasard, et ce sans se décarcasser avec des divisions ou des modulos ?

Je parie que vous imaginez où je veux en venir ? :lol3:

[nodjim]

ça ressemble au classique filtre d'Eratosthène. Je ne sais pas trop où tu veux en venir, mais il est évident qu'on ne peut pas construire un tel tableau pour des grands nombres. Il n'est même pas raisonnable d'envisager une quelconque amélioration sur la connaissance des nombres premiers avec cette présentation.

[elmardi]

ça ressemble au classique filtre d'Eratosthène. Je ne sais pas trop où tu veux en venir, mais il est évident qu'on ne peut pas construire un tel tableau pour des grands nombres. Il n'est même pas raisonnable d'envisager une quelconque amélioration sur la connaissance des nombres premiers avec cette présentation.

En effet, ce n'est apparemment qu'une représentation visuelle des modulos pour retrouver les nombres 1ers. Mais ce qui m'intrigue, ce sont les nombres qui ne sont pas entourés. Je me dis qu'il peut y avoir une logique complémentaire, basée par exemple sur l'addition, qui permettrait de dévoiler rapidement ce que les modulos dévoilent de plus en plus lentement en allant vers l'infini.

La première remarque que l'on peut faire, c'est que seuls les nombres premiers ont un maximum de nombres non entourés.

Je pense que ce problème mathématique que je pose doit posséder une issue, mais que cela relève un peu plus de la chance que de la logique, comme toutes les grandes découvertes.