Déterminant et matrice réelle

[jonses]

Bonjour ou bonsoir,

J'essaye de faire un exercice sur les déterminants, je pensais que je serai capable de trouver au moins quelques petits trucs, mais ça fait un bon moment que je bloque. Du coup j'aurai bien besoin d'un coup de main svp.


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Soient A et B deux matrices carrées réelles telles que AB=BA et det(A+B)>0

Montrer que


---

J'ai réussi à montrer que (exo assez classique), mais pour montrer que c'est strictement plus grand que 0, là je vois pas du tout. J'ai cherché, mais je vois aucune piste sur laquelle me lancer.


Si quelqu'un peut m'aider svp.
Je vous remercie d'avance pour vos réponses

[BiancoAngelo]

Bonjour ou bonsoir,

J'essaye de faire un exercice sur les déterminants, je pensais que je serai capable de trouver au moins quelques petits trucs, mais ça fait un bon moment que je bloque. Du coup j'aurai bien besoin d'un coup de main svp.


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Soient A et B deux matrices carrées réelles telles que AB=BA et det(A+B)>0

Montrer que


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J'ai réussi à montrer que (exo assez classique), mais pour montrer que c'est strictement plus grand que 0, là je vois pas du tout. J'ai cherché, mais je vois aucune piste sur laquelle me lancer.


Si quelqu'un peut m'aider svp.
Je vous remercie d'avance pour vos réponses

Salut !

Problème intéressant, mais je ne le connais pas (ou alors je ne m'en souviens plus).
Tu peux me dire comment tu arrives à montrer "" ? (les grandes lignes).

Je pourrais peut-être t'aider ensuite...

[Matt_01]

A et B commutent et donc possèdent une base de trigonalisation commune.
Si on note et on a :

[Matt_01]

A et B commutent et donc possèdent une base de trigonalisation commune.
On peut du coup utiliser ces faits, après avoir montré comment se défaire des vap complexes) :
Si a+b>0
Si a>=b>=0 alors on a naturellement a^n+b^n > 0 (un des deux termes est non nul, et les deux sont positifs).
Si b<0 0 (même raisonnement) et a > -b > 0 donc a^(2n+1) > (-b)^(2n+1) > 0 et donc a^(2n+1)+b^(2n+1) > 0

On fait le même raisonnement pour le cas a+b<0 pour finalement montrer que a^2n+b^2n est toujours strictement positif et a^(2n+1) + b^(2n+1) garde le signe de a+b (et sa "non nullité").
En fait je ne vois pas comment tu as montré la positivité sans montrer la stricte positivité.
Mais dans ce cas, t'as juste à montrer que si a+b différent de 0, on n'a jamais a^n+b^n = 0 (ce qui est assez facile car sinon a et b auraient même modules, et donc a=b (a=-b donne a+b = 0)).

[BiancoAngelo]

A et B commutent et donc possèdent une base de trigonalisation commune.
On peut du coup utiliser ces faits, après avoir montré comment se défaire des vap complexes) :
Si a+b>0
Si a>=b>=0 alors on a naturellement a^n+b^n > 0 (un des deux termes est non nul, et les deux sont positifs).
Si b 0 (même raisonnement) et a > -b > 0 donc a^(2n+1) > (-b)^(2n+1) > 0 et donc a^(2n+1)+b^(2n+1) > 0

On fait le même raisonnement pour le cas a+b<0 pour finalement montrer que a^2n+b^2n est toujours strictement positif et a^(2n+1) + b^(2n+1) garde le signe de a+b (et sa "non nullité").
En fait je ne vois pas comment tu as montré la positivité sans montrer la stricte positivité.
Mais dans ce cas, t'as juste à montrer que si a+b différent de 0, on n'a jamais a^n+b^n = 0 (ce qui est assez facile car sinon a et b auraient même modules, et donc a=b (a=-b donne a+b = 0)).

Salut,

Que sont a et b ?
a = det (A) et b = det(B) ?

Dans ce cas, c'est qu'on a det(A+B) = det(A) + det(B), que tu sembles utiliser. Je me trompe ?
Mais cette égalité est fausse en général.
Je n'ai pas idée de la preuve, en fait, je n'ai pas vu diagonalisation et trigonalisation dans mes cycles :mur:

[Matt_01]

Si tu n'as pas vu la diagonalisation, qu'est ce que tu utilises pour démontrer ta première inégalité ?
a et b désignent ici des valeurs propres de A et B. det(A) est le produit de ses valeurs propres (tout comme det(B)) et donc det(A^n+B^n) est le produit des a^n+b^n avec a (resp b) valeur propre de A (resp B).

[Ben314]

Salut,
Pour "positif ou nul", il n'y a effectivement nul besoin de diagonaliser/trigonaliser :
Vu que A et B commutent on a où sont les racines (distinctes) du polynôme .
Parmi ces racines, il y a éventuellement un (si est impair) et dans ce cas, par hypothèse,
Sinon, les autres racines sont 2 à 2 conjuguées. Or, on a

Donc est positif ou nul et, pour montrer qu'il est non nul, il suffirait de montrer que les différentes matrices sont inversibles (ou autrement...)

[Matt_01]

On démontre pas que c'est strictement positif car ... c'est faux.
L'erreur dans ma démonstration précédente est de négliger la partie complexe qui peut en fait s'annuler comme par exemple avec et qui commutent et pourtant

[jonses]

Si j'ai bien compris, l'énoncé de mon exercice est faux en général : on ne peut pas montrer l’inégalité stricte

[paquito]

Si j'ai bien compris, l'énoncé de mon exercice est faux en général : on ne peut pas montrer l’inégalité stricte

Il y a plein de contre-exemples: pour n=3 par exemple tu prends pour et deux matrices de rotations vectorielles de même axe et d'angle et ; on a dét et dét.