Série entière et simplification de somme finie

[Vupen]

Bonjour,

Soit

On me demande d'utiliser cette fonction pour simplifier

http://www5a.wolframalpha.com/Calculate/MSP/MSP4931f1g1g3ha835fbd100003h6ac9e01e206cf5?MSPStoreType=image/gif&s=1&w=132.&h=64.

Alors, F vérifie F' + 2xF = 1, je développe en une série entière mais je ne vois pas le lien entre cette somme (finie) et F (ou son développement en série entière) ....

Merci

[Black Jack]

Bonjour,

Soit

On me demande d'utiliser cette fonction pour simplifier

http://www5a.wolframalpha.com/Calculate/MSP/MSP4931f1g1g3ha835fbd100003h6ac9e01e206cf5?MSPStoreType=image/gif&s=1&w=132.&h=64.

Alors, F vérifie F' + 2xF = 1, je développe en une série entière mais je ne vois pas le lien entre cette somme (finie) et F (ou son développement en série entière) ....

Merci

e^(t²) = 1 + t² + (t²)²/2! + ... + (t²)^n/n! + ...

e^(t²) = Somme(de k = 0 à k = oo) [(t²)^k/k!]
e^(t²) = Somme(de k = 0 à k = oo) [(t^(2k))/k!]

e^(t²) dt = Somme(de k = 0 à k = oo) [(t^(2k))/k!] dt

e^(t²) dt = Somme(de k = 0 à k = oo) [t^(2k+1)/((2k+1).k!)]

e^(t²) dt = Somme(de k = 0 à k = oo) [x^(2k+1)/((2k+1).k!)]

F(x) = e^(-x²) * Somme(de k = 0 à k = oo) [x^(2k+1)/((2k+1).k!)]
*****

F'(x) = -2x.e^(-x²) * Somme(de k = 0 à k = oo) [x^(2k+1)/((2k+1).k!)] + e^(-x²) * Somme(de k = 0 à k = oo) [(2k+1).x^(2k)/((2k+1).k!)]
F'(x) = -2x.e^(-x²) * Somme(de k = 0 à k = oo) [x^(2k+1)/((2k+1).k!)] + e^(-x²) * Somme(de k = 0 à k = oo) [(x^(2k))/k!]

F'(x) + 2x.F(x) = -2x.e^(-x²) * Somme(de k = 0 à k = oo) [x^(2k+1)/((2k+1).k!)] + e^(-x²) * Somme(de k = 0 à k = oo) [(x^(2k))/k!] + 2x.e^(-x²).Somme(de k = 0 à k = oo) [x^(2k+1)/((2k+1).k!)]

F'(x) + 2x.F(x) = e^(-x²) * Somme(de k = 0 à k = oo) [(x^(2k))/k!]

F'(x) + 2x.F(x) = e^(-x²) * e^(x²)

F'(x) + 2x.F(x) = 1

CQFD

:zen:

[Vupen]

Merci, mais ça ne répond pas à ma question (d'ailleurs la relation je l'ai trouvée en une ligne grâce à un théorème du cours sur les intégrales généralisées avec une borne variable ...)

Ma question portait sur comment utilisait la fonction F(x) (et son développement en série - je trouve que la série associée est = 0 et

[Vupen]

pour simplifier la somme de l'image

[Vupen]

Personne ne peut m'aider ? :marteau:

[lionel52]

Le lien wolfram marche plus...

En essayant de développer en série les 2 facteurs et en faisant un produit de cauchy, le terme en

est sauf erreur

D'un autre côté tu peux avec la relation trouver d'une autre façon ce terme en faisant une petite identification.


Je trouve

[Pythales]

Bonjour,

Soit

On me demande d'utiliser cette fonction pour simplifier

http://www5a.wolframalpha.com/Calculate/MSP/MSP4931f1g1g3ha835fbd100003h6ac9e01e206cf5?MSPStoreType=image/gif&s=1&w=132.&h=64.

Alors, F vérifie F' + 2xF = 1, je développe en une série entière mais je ne vois pas le lien entre cette somme (finie) et F (ou son développement en série entière) ....

Merci

La question n'est pas claire

[Pythales]

La question n'est pas claire

A ce sujet :

Je sais qu'il existe (au moins) deux démonstrations de l'identité
La 1ère s'inspire du présent exercice.
J'ai oublié la deuxième. La connaissez vous ?

Merci

[Pythales]

A ce sujet :

Je sais qu'il existe (au moins) deux démonstrations de l'identité
La 1ère s'inspire du présent exercice.
J'ai oublié la deuxième. La connaissez vous ?

Merci

Personne n'a une idée ?

[lionel52]

Si tu poses

Alors avec une IPP



De plus !

[Pythales]

Si tu poses

Alors avec une IPP



De plus !

Oui. Ca c'est la 1ère méthode.
Je crois que la 2ème se base sur l'intégration d'une fonction complexe par la méthode des résidus.
Le problème est de déterminer et le contour