Aire d'une boule

[744]

Bonjour à tous.
Je fais appel à votre aide car je me sens un peu perdue concernant l'aire d'une boule. J'ai vu de nombreuses démonstrations sur le net, mais je ne les ai pas vraiment comprises, même si je pense avoir saisi le principe.

J'ai d'abord essayé de retrouver l'aire d'un cercle, puis de m'en inspirer pour trouver l'aire d'une boule.

Déjà, ma démonstration de l'aire d'un cercle (ci-dessous) est-elle juste ?

J'ai commencé par calculer l'aire du quart de cercle dans lequel x et y sont positifs. Pour cela j'ai raisonné en termes de rectangles sous la courbe, de largueur infiniment petite dx. La somme de leurs aires me donne donc , où et , y étant la hauteur de mes rectangles. En effectuant ce changement de variable, j'obtiens , c'est-à-dire , qui vaut . En multipliant par 4 pour avoir l'aire totale, on retrouve bien .


J'ai donc voulu m'inspirer de cette démonstration pour calculer l'aire d'une boule, en la coupant en cylindres de largueur infiniment petite dx. J'ai commencé par calculer l'aire du quart de boule dans lequel x et y sont positifs. L'aire du demi-cylindre au point x est donc , où et (y étant le rayon de mon cylindre). L'aire du quart de boule est donc . En effectuant le changement de variable, j'obtiens , c'est-à-dire -. En multipliant par 4 pour avoir l'aire totale de la boule, j'obtiens alors - au lieu de .


Quelqu'un pourrait-il m'aider à trouver mon erreur ?

[744]

Au temps pour moi, j'ai oublié de transformer le dx dans la dernière intégrale du quart de boule. Ca donne donc = = . Multiplié par 4, j'obtiens ...

[siger]

bonjour

J'avoue ne pas bien comprendre comment sont tes cylindres, mais il me semble que le calcul de leur surface est erroné.
la circonference ne peut pas etre y pour tous les cylindres.....(?)

de maniere classique on calcule la surface de la maniere suivante:
un element de surface sur la sphere au point defini par R, teta et phi, est formé de deux arcs de cercles perpendiculaires
R*d(phi)
et R*cos(teta) *d(teta)
avec teta variant de 0 a pi et phi de 0 a 2pi

aire = R²somme cos(teta) d(teta)]0,pi * somme d(phi)]0,2pi=R²*2*2pi

[Axiom]

Bonjour.. :happy:

Ta démonstration me semble assez compliquée, tu peux aussi utiliser une intégrale double.

Ainsi, on intègre par rapport à la latitude avec .



Ça me semble plus concis et plus simple mais je comprends que l'on puisse avoir du mal à se le représenter.. ^^"

[Pythales]

Bonjour à tous.
Je fais appel à votre aide car je me sens un peu perdue concernant l'aire d'une boule. J'ai vu de nombreuses démonstrations sur le net, mais je ne les ai pas vraiment comprises, même si je pense avoir saisi le principe.

J'ai d'abord essayé de retrouver l'aire d'un cercle, puis de m'en inspirer pour trouver l'aire d'une boule.

Déjà, ma démonstration de l'aire d'un cercle (ci-dessous) est-elle juste ?

J'ai commencé par calculer l'aire du quart de cercle dans lequel x et y sont positifs. Pour cela j'ai raisonné en termes de rectangles sous la courbe, de largueur infiniment petite dx. La somme de leurs aires me donne donc , où et , y étant la hauteur de mes rectangles. En effectuant ce changement de variable, j'obtiens , c'est-à-dire , qui vaut . En multipliant par 4 pour avoir l'aire totale, on retrouve bien .


J'ai donc voulu m'inspirer de cette démonstration pour calculer l'aire d'une boule, en la coupant en cylindres de largueur infiniment petite dx. J'ai commencé par calculer l'aire du quart de boule dans lequel x et y sont positifs. L'aire du demi-cylindre au point x est donc , où et (y étant le rayon de mon cylindre). L'aire du quart de boule est donc . En effectuant le changement de variable, j'obtiens , c'est-à-dire -. En multipliant par 4 pour avoir l'aire totale de la boule, j'obtiens alors - au lieu de .


Quelqu'un pourrait-il m'aider à trouver mon erreur ?

Tu peux aussi utiliser la formule avec , soit et

[WillyCagnes]

bsr

et en dérivant le volume de la sphère

V=4/3 Pi.R^3

dS=dV/dr=4.Pi.R²

[744]

D'abord, merci à tous pour vos réponses !

J'avoue ne pas bien comprendre comment sont tes cylindres, mais il me semble que le calcul de leur surface est erroné. la circonference ne peut pas etre y pour tous les cylindres.....(?)

Mais le y varie, puisqu'il vaut , et que je fais varier r.

Je n'ai pas bien compris ta réponse, mais ça m'a aidée à voir mon erreur : j'utilisais les coordonnées polaires sans me préoccuper du troisième axe, alors qu'on est dans l'espace. Il faut passer par les coordonnées sphériques. J'ai essayé la même méthode en utilisant celles-ci, mais je tombe encore sur un mauvais résultat...

Ta démonstration me semble assez compliquée, tu peux aussi utiliser une intégrale double.

Effectivement la méthode semble simple, mais comme tu le dis, je n'arrive pas à me la représenter. Pourquoi en faisant cette double intégrale on obtient l'aire ? En fait, une intégrale représente l'aire algébrique sous la courbe, mais que représente en maths une double intégrale ?

Tu peux aussi utiliser la formule \int_C2\pi yds avec x=r\cos\theta , y=r\sin\theta soit ds=rd\theta

Je crois que c'est à ça que je voulais arriver avec mes cylindres, et en effet cette intégrale semble marcher, mais je ne comprends pas d'où elle vient ?

et en dérivant le volume de la sphère

Oui, effectivement, je connaissais cette méthode, mais je voulais retrouver la formule sans passer par le volume. Mais pourquoi, en dérivant le volume, on obtient l'aire ?

[744]

Si je reprends ma méthode en utilisant les bonnes coordonnées (qui est peut-être pas la meilleure, hein, je m'obstine dessus parce que pour l'instant c'est la seule que je comprends)

J'ai toujours mes cylindres, je décide de les faire avec les disques parallèles à l'axe (Oz), et les centres des disques sur l'axe (Oy). J'appelle dy leur hauteur. Quand je prends un point A sur l'axe (Oy) et que je construis un cylindre autour (je veux dire par là que A est le centre de l'une des face ronde du cylindre), le rayon de ce cylindre est la valeur en z du point d'intersection B entre la boule et la parallèle à (Oz) passant par A. Jusqu'ici j'ai bon ?

Donc la surface de chaque cylindre vaut (où z désigne la valeur en z de mon point B). Puis comme je ne veux considérer qu'un quart de boule, je divise cette surface par 2 pour obtenir celle du demi-cylindre :

Avec les coordonnées sphériques, j'ai B qui vaut

En l'occurrence, ici, comme B est quelque part au dessus de l'axe (Oy), vaut , et B vaut .

La surface de la boule est donc

Mais faire varier y revient à faire varier , puisque r et ne changent pas.

Avec les coordonnées sphériques, j'obtiens donc , ce qui me donne , ce qui fait ...