Ensembles théoriques et intersections

[apachetransfire]

Bonjour à tous ,
je suis un élève de seconde et j'aime bien les défis mathématiques , alors voici mon problème

soit l'ensemble théorique généré par q appartenant
à c'est à dire la suite géométrique de premier terme 2 et de raison 2

et soit l'ensemble théorique généré par

mon problème ouvert : existe t-il une infinité d'intersection de A et B des éléments de ces deux
ensembles ?

Merci à vous tous ce serait une aide INCROYABLE que vous m'offrez :jap:

[Sylviel]

Bonjour,

il va d'abord falloir commencer par mieux formuler ton problème.
Tu cherche l'intersection de
A = {8q-3 | q = 1, 2, 4, ...}
et
B = {w²+w-1 | w = ??? }

Je te suggère de remplacer q par une expression dépendant de n, où n est un entier naturel.

[lionel52]

C'est toi qui as inventé l'exercice? oO


Parce que si je comprends bien tu veux trouver les points d'intersection entre les valeurs d'une fonction et les points d'une suite. Donc oui y en a une infinité vu que f prend toutes les valeurs positives...

[apachetransfire]

C'est toi qui as inventé l'exercice? oO


Parce que si je comprends bien tu veux trouver les points d'intersection entre les valeurs d'une fonction et les points d'une suite. Donc oui y en a une infinité vu que f prend toutes les valeurs positives...

Tout d'abord merci pour votre aide

puis-je écrire
A={8q-3 | q = 2^n} n à

excusez-moi pour mon oubli , w à

Merci pour ta remarque lionel52 , mais malheureusement c'est la où ça se corse
ce n'est pas dans

[Ben314]

Salut,
A mon avis, au lieu de parler de "tas de fatras" style "ensemble théorique" ou "fonctions" totalement inutiles ici, tu peut simplement poser la question sous la forme :

Existe t'il une infinité de couples d'entiers (naturels ?) tels que ?

[mathafou]

Existe t'il une infinité de couples d'entiers (naturels ?) tels que ?

voire même puisque
existe-t-il une infinité de m et w dans Z (ou N) :

[Sylviel]

@Ben, mathafou, le but était bien d'arriver là :zen:

Il n'empêche qu'une fois qu'on a dis ça on n'est pas encore arrié...

[DamX]

hello,

pas l'ombre du début d'un quart de preuve (même pas essayé) mais en regardant empiriquement ce que ça donne en pratique sur cette dernière équation, c'est à dire en prenant un w et en testant si w²+w+2 est une puissance de 2, on trouve que ceux qui vérifient ça sont 1, 2, 5, 90 et ... c'est tout ! en tout cas pour tout w < 10 000 000 ...

Donc non seulement ça n'a pas l'air d'être infini cette intersection, mais ça a même l'air d'être assez exceptionnel comme truc, à voir si ce ne seraient pas les seules solutions .. ! Ce qui du coup inciterait à trouver une démo élégante à ce phénomène.

Damien

Edit : ce sont toujours les 4 seuls w possibles jusqu'à 100 000 000 !
Edit 2 : toujours les seuls pour w < 1 milliard ! Je m'arrête là, au delà je fais plus trop confiance à mon programme. Au final au delà des valeurs "triviales" 1,2,5, il y aurait une seule solution semble-t-il : 90, intriguant !

Edit 3: en prenant le problème par l'autre membre, parce que finalement 1 milliard² c'est jamais qu'autour 2^60, donc ça ne va pas loin dans le n, sauf qu'il fallait un moyen fiable de tester dansce sens, qui est de chercher les n tel qu'il existe w(w+1) = 2^n-2, et pour cela on prend la racine carrée de 2^n-2, et le seul candidat possible pour w est la partie entière de cette racine, on teste pour voir si on retombe ou non sur 2^n-2.
Bref dans ce sens là, on peut aller beaucoup plus loin, et je confirme qu'il n'y a pas d'autres solutions jusqu'à n = 1022 (donc pour w < 2^1022-2 ~ 10^307)'. A n=1023 python crashe sur la racine.



1²+1+2 = 4 = 2^2
2²+2+2 = 8 = 2^3
5²+5+2 = 32 = 2^5
90²+90+2 = 8192 = 2^13

[Axiom]

Bonjour à tous... :happy:

Je rajoute à la liste proposée par DamX, , solution triviale mais présente... ^^
C'est vrai que l'expérimentation algorithmique est pas mal ici, j'ai fait la même chose en tant qu'apprenti informaticien... :we: Voici le code que j'ai utilisé en Java, selon une méthode que j'ai réfléchie et expliquée ci-dessous.

Code: Tout sélectionner

public static final double epsillon = 0.000000000000001;

   public static void main(String[] args) {

      for(long i = 0; i < 10000000; i++) {
      double a_w = Math.log(i*i+i+2)/Math.log(2);
      if(Math.abs((int) a_w - a_w) < epsillon)
         System.out.println(i);
      }
   }

À noter que pour une précision accrue il faudrait mieux utiliser la bibliothèque des BigDecimal et BigInterger de java, sans compter le cast un peux violent en int, mais bon, les valeurs de la suite n'étant pas très élevées, ce n'est pas trop important ici il me semble... En tout cas, avec ce code je trouve la même chose que vous DamX, mais en allant ici jusqu'à un potentiel égal à dix millions.. :we: Après, je ne suis pas sûr à 100% de la fiabilité de mon code comme je viens de l'expliquer... :hein:

Ainsi après manipulation de la formule trouvée plus haut : , ne serait-il pas possible d'étudier la suite et ainsi rechercher quand ... :hein:
En fait, je sais pas si ça fait avancer le schmilblick, mais bon, je propose... :ptdr:

[t.itou29]

Salut,
Peut-être qu'en écrivant l'équation sous la forme c'est un peu plus exploitable au niveau divisibilité, après j'ai pas encore eu le temps de réfléchir :we:

[Ben314]

Perso, j'attaquerais plutôt comme ça :
où 4$\omega=\frac{1+i\sqrt{7}}{2}

[Ben314]

Perso, j'attaquerais plutôt comme ça :
où .
Sauf que est l'anneau des entiers de et il s'avère que cet anneau fait parti des (rares) anneaux d'entiers d'un corps quadratique qui soit euclidiens.
Dans A, la décomposition en facteurs irréductibles de 2 est .
Donc dans A, la décomposition en facteurs irréductibles de est ce qui signifie que celle de est .
Si et que ou alors devrait diviser (dans A) ce qui clairement faux.
On a donc forcément ou bien et on est ramené à chercher les valeurs de m telles que la partie imaginaire de soit égale à ce qui est peut-être faisable (binôme de Newton ?)

[mathafou]

à partir de la forme
on peut considérer deux cas : m pair est donc un carré
la résolution de y² = w² + w + 1 conduit à la recherche des diviseurs de 7 donc un nombre fini de solutions, à savoir une seule : w = 1 (ou w = -2 dans Z) et m = 2

en dehors de cette solution, toutes les autres ont donc m impair et w² + w + 1 est le double d'un carré 2y²
ce qui conduit à une équation de Pell (nombre infini de solutions) dans lesquelles il faut pêcher celles pour lesquelles y est une puissance de 2,
mais bon , ça n'avance pas trop...
sauf qu'on sait maintenant que m est impair pour les autres solutions que w = 1, m = 2

les solutions de 2y² = w² + w + 2 sont obtenues par la récurrence



en partant de =
(0, -1) : (-3, -2) (-16, -11) (-91, -64) (-528, -373) (-3075, -2174) (-17920, -12671) ...
(-1, -1) : (-6, -4) (-33, -23) (-190, -134) (-1105, -781) (-6438, -4552) (-37521, -26531) ...
(-1, 1) : (2, 2) (15, 11) (90, 64) (527, 373) (3074, 2174) (17919, 12671) (104442, 73852) ...
et (-3, 2) : (0, 1) (5, 4) (32, 23) (189, 134) (1104, 781) (6437, 4552) (37520, 26531) ...

dans lesquelles j'ai souligné les solutions où |y| est une puissance de 2
on retrouve les 4 solutions déja connues avec w > 0 (en comptant le cas y² = w² + w + 1 au dessus)

bien entendu aller comme ça jusqu'à l'infini n'est pas possible, mais c'est du même genre que d'autres problèmes qui aboutissent à filtrer des solutions définies par des récurrences du second ordre (solutions d'équations de Pell)
il est "bien rare" qu'il y ait parmi ces solutions un nombre infini de solutions qui satisfasse à un quelconque critère additionnel (ici que ce soit une puissance de 2)
les démonstrations sont souvent très tordues ... et très longues

[Ben314]

Perso, j'attaquerais plutôt comme ça :
où .
Sauf que est l'anneau des entiers de et il s'avère que cet anneau fait parti des (rares) anneaux d'entiers d'un corps quadratique qui soit euclidien.
Dans A, la décomposition en facteurs irréductibles de 2 est .
Donc dans A, la décomposition en facteurs irréductibles de est ce qui signifie que celle de est .
Si et alors devrait diviser (dans A) ce qui clairement faux.
On a donc forcément ou bien et on est ramené à chercher les valeurs de m telles que la partie imaginaire de soit égale à ce qui est peut-être faisable (binôme de Newton ?)

[Ben314]

Perso, j'attaquerais plutôt comme ça :
où .
Sauf que est l'anneau des entiers de et il s'avère que cet anneau fait parti des (rares) anneaux d'entiers d'un corps quadratique qui soit euclidien.
Dans A, la décomposition en facteurs irréductibles de 2 est .
Donc dans A, la décomposition en facteurs irréductibles de est ce qui signifie que celle de est .
Si et alors devrait diviser (dans A) ce qui clairement faux.
On a donc forcément ou bien et on est ramené à chercher les valeurs de m telles que la partie imaginaire de soit égale à ce qui est peut-être faisable (binôme de Newton ?)

[DamX]

Salut,
Peut-être qu'en écrivant l'équation sous la forme c'est un peu plus exploitable au niveau divisibilité, après j'ai pas encore eu le temps de réfléchir :we:

Hello,

oui c'est ce que j'ai dit dans ma dernière version, on peut aller très loin en faisant comme ça par analyse-synthèse :


alors on a :



du coup on a forcément

C'est le seul candidat w possible pour un m donné. il suffit de calculer alors w(w+1) pour voir si on retombe sur 2^m-2.

C'est beaucoup plus rapide (on teste un seul w par puissance de deux), et beaucoup plus robuste que de partir dans l'autre sens, car même si on risque d'avoir une légère erreur sur la racine, la partie entière sera correcte, et ensuite c'est un produit d'entier qui ne comporte pas d'incertitude.

c'est comme ça que j'ai pu tester pour les puissances de 2 jusqu'à 1022, c'est à dire pour les w jusqu'à 10^307 en gros.


@Ben : ton critère marche bien, ça déplace le problème, à voir si c'est plus facile à résoudre, on tombe sur
en développant.

Damien

[Ben314]

Déjà, ça permet de tester à moindre frais quels sont les entiers m tels que .
Si écrit que, pour tout , avec alors le problème se ramène à savoir quels sont les tels que .
On a évidement , et, comme , et ce qui signifie que .

On peut donc aisément calculer les premiers termes :
0 ; 1 ; 1 ; -1 ; -3 ; -1 ; 5 ; 7 ; -3 ; -17 ; -11 ; 23 ; 45 ; -1 ; -91 ; -89 ; 93 ; 271 ; 85 ; -457 ; -627 ; 287 ; ...
Et on retrouve que, les premières valeurs de m qui marchent son 1,2,3,5,13.

J'ai peut-être un début d'idée pour montrer qu'il n'y en a pas d'autres... :hein:

[Ben314]

Déjà, ça permet de tester à moindre frais quels sont les entiers m tels que .
Si écrit que, pour tout , avec alors le problème se ramène à savoir quels sont les tels que .
On a évidement , et, comme , et ce qui signifie que .

On peut donc aisément calculer les premiers termes :
0 ; 1 ; 1 ; -1 ; -3 ; -1 ; 5 ; 7 ; -3 ; -17 ; -11 ; 23 ; 45 ; -1 ; -91 ; -89 ; 93 ; 271 ; 85 ; -457 ; -627 ; 287 ; ...
Et on retrouve que, les premières valeurs de m qui marchent son 1,2,3,5,13.

J'ai peut-être un début d'idée pour montrer qu'il n'y en a pas d'autres... :hein:

[Doraki]

http://www.cs.ox.ac.uk/joel.ouaknine/publications/positivity12.pdf
http://web.stanford.edu/~dalitt/Talks/kiddiezeroes.pdf

Avec suffisamment de calculs on peut regarder les applications fk : m -> b(8m+k) pour k=0..7, les étendre dans les entiers 3-adiques, voir qu'elles sont analytiques à coefficients dans Z(3), et voir que leurs seules valeurs +-1 sont celles déjà trouvées (plus deux 1s supplémentaires en 1/2 et 3/2 pour b(8m+1), un 1 en -1/2 pour b(8m+7), deux -1s en 1/2 pour b(8m+5) et b(8m+6) ; marrant ça)

Donc un truc extrêmemnt fastidieux qui montre que ce sont les seules (et j'ai eu bien de la chance qu'il n'y ait pas eu d'autre 1 ou -1 en des valeurs irrationelles parceque là j'aurais été bien incapable de vérifier leur irrationnalité)

[Ben314]

Je vais regarder tes trucs : ça a l'air super intéressante.

Perso, le début de piste que j'avais, c'est de montrer que, pour tout q>=3, il y a une solution r dans Z/2^qZ à l'équation X^2-X+2=0 et même r est congru à 3 modulo 8.
On a alors bm=1/(2r-1)(r^m-(1-r)^m) modulo 2^q, sauf que (1-r) est pair donc (1-r)^m=0 modulo q si m>=q.
Dans ce cas ( m>=q ) on a donc simplement bm=r^m/(2r-1) et donc bm=-1 ssi r^m=1-2r (le cas bm=+1 est exclu pour m>=3 en regardant ce qu'il se passe modulo 8).
Ensuite, comme r est confgru à 3 modulo 8, il est d'ordre 2^(q-2) dans le groupe multiplicatif des inversibles de Z/2^qZ donc la suite bm modulo 2^q va être périodique à partir du rang m=q avec une période de longueur 2^(q-2).

Si q13 je ne sais plus comment "amorcer" la suite r^m vu qu'elle ne co!ïncide pas avec bm pour les "petites" valeurs de m.