Minimun d'une fonction

[epi1]

Bonjour

je rencontre des difficultés avec un exercice et je voudrais votre aide.

Soit X une variable aléatoire discrète. Prouver que pour tout x appartenant à IR:

E((X)-x)²) = Var(X) + (E(X)-x)².

En déduire le minimum de l'application f(x) = E((X)-x)²) quand x varie dans
R (on donnera la valeur du minimum et le point x ou il est atteint).

Mon début de réponse:

Var(X) + (E(X)-x)²= E(X²)-E(X)² + E(X)² -2E(X)x + x²
= E(X²) -2E(X)x + x²
= E((X)-x)²)

je ne sais pas comment m'y prendre pour trouver le minimum de cette fonction.

[Godfrey]

Salut,

La fonction que tu dois minimiser s'écrit donc comme une somme à deux termes.
Le premier terme est une constante qui ne dépend pas de $x$.
Le deuxième terme est une fonction positive.
A quel moment est-elle donc minimale ?

[epi1]

lorsque X= 0 (?).

[Godfrey]

Attention, si j'ai bien compris ton énoncé, c'est x qui varie, pas X (qui est fixé)

[epi1]

Donc le minimum de la fonction est f(x)= E(X)², et ce minimum est atteint en x=0.

[lionel52]

Non t'as la somme d'un truc constant avec un truc toujours positif. Quel est le minimum de (x-a)² et quand est il atteint?

[epi1]

(E(X)-x)² ;) 0
(E(X)-x)² + Var(X) ;) Var(X)
f(x) ;) Var(X)

Puisque toutes les images de x sont supérieur a Var(X), f(x) admet un minimum et ce minimum est Var(X) atteint lorsque x= E(X).