[Résolu]Analyse

[Hexin138]

Bonjour, je voudrais savoir si y'aurais des gens disponible pour m'aider.


Alors bon, voici les questions, je demande pas la réponse, mais juste si la méthode est la bonne, et si la réponse répond réellement à la question.

Problème.
On considère la fonction f:[0,+;)[->[0,+;)[ donnée par
f(x)= 2x/(x+1), et la suite réelle (Un) (n;);)) définie par récurrence par
U(0);)[0,+;)[ et Pour tout n dans , U(n+1)=f(Un).

1. On suppose que U(0);)[0,1].
a. Montrer que Pour tout n;);), Un;)[0,1].
// j'ai pensé à faire une récurrence, en montrant que si c'est égale à 1 ce serait constant, et inférieur à 1 c'est décroissant mais toujours supérieur à 0.
Est ce que j'ai tord?

b. Etudier les variations de la suite Un
// Je sais pas du tout, j'ai l'idée de la dérivé pour connaître les variations, mais en faisant directement f'(x)= 2/(x+1)², je réponds pas à la question non? puisque c'est pas Un, la variation de Un ?

c.Montrer que la suite Un converge et déterminer sa limite(On justifiera rigoureusement.).
J'ai l'impression qu'avec ma tentative de réponse de la question a, je répond déjà à celle la aussi. Donc que dois-je fais ?
Car pour montrer une convergence, je dois dire que sa limite est un réel ?


2. Représenter sur un même dessin, le graphe de la fonction f, la droite y=x et les premières valeurs de Un.
// bon ça facile,

3.Quel est le comportement de de la suite (Un) si U(0);)[0,+;)[ ?
// Bon je sais que la suite tend vers 1, mais je ne saurais pas l'expliquer.
Faire Calculer ... bon pendant que j'ai rédigé ce texte, j'ai eu l'idée de faire
la croissance de Un, en faisant Un+1 - Un.
Si le résultat est négatif alors la suite est décroissante, sinon croissante.
Donc j'ai fait f(Un)-Un.
Je suis tombé sur (-Un²+Un) / (1 + Un). Donc puisque Un est forcement positif, alors (1 + Un) l'est aussi. Et (-Un²+Un) est négatif, car Un est sup à 1 donc Un²>Un, donc c'est lui qui fait que la parenthèse est négative. Est ce que je dois appliquer cette méthode à une question en particulier?

Bon j'ai mis l'exam en jpg, mais c'était pas l'idéale pour coller l'image direct sur le forum, car elle est trop volumineuse. Je mets donc les liens dans la suite, en sachant que j'ai en premier ces question en tête.









http://i18.servimg.com/u/f18/17/06/52/48/photo012.jpg
http://i18.servimg.com/u/f18/17/06/52/48/photo017.jpg

[chombier]

1. On suppose que U(0);)[0,1].
a. Montrer que Pour tout n;);), Un;)[0,1].
// j'ai pensé à faire une récurrence, en montrant que si c'est égale à 1 ce serait constant, et inférieur à 1 c'est décroissant mais toujours supérieur à 0.
Est ce que j'ai tord?

Tu n'est pas assez clair pour qu'on puisse te répondre.

Je te cite : "si c'est égale à 1 ce serait constant".
De quoi parles-tu, quelle est cette chose qui, si elle était égale à 1, serait constante ? (Par déduction je vois ce que tu veux dire, mais heureusement que le problème est simple sinon ce serait totalement impossible). (Je n'en rajouterais pas sur la concordance des temps !)

Autre chose, tout aussi grave, tu ne fait pas une démonstration par récurrence comme annoncé. Tu commences à raisonner par disjonction des cas : si U_0=1, la suite est constante, si U_0<1, la suite est décroissante mais minorée par 0. Tu ne dis pas comment tu vas prouver tout ça, et la récurrence est tombée aux oubliettes.

[Hexin138]

Pour si c'est 1,c'est constant:
C'est une déduction par rapport à la suite U(n+1)=f(Un)... Par déduction tu voies, mais moi par illettrisme je ne suis pas sur de savoir quel est le mot ou la phrase que je devais employer.

Ah quand j'ai dis que je devais faire la récurrence, c'était plus une question qu'un objectif. Ce que je dis par // c'est ce que je pense faire, pas ce que je fais.
Sinon j'aurais était un peu plus bavard. J'aurais montrer que c'était vrai au rang n, et j'aurais tenter de prouver que c'était vrai au rang n+1. Mais c'est justement cela qui me pose problème, est ce que c'est le bon choix la récurrence pour cette question?

[chombier]

Pour si c'est 1,c'est constant:

Non, des phrase comme ça c'est pas possible.

OUT !

[chombier]

Pour si c'est 1,c'est constant:

Oui, et si c'est rond c'est pas carré :mur: :marteau:

C'est une déduction par rapport à la suite U(n+1)=f(Un)... Par déduction tu voies, mais moi par illettrisme je ne suis pas sur de savoir quel est le mot ou la phrase que je devais employer.

Ah quand j'ai dis que je devais faire la récurrence, c'était plus une question qu'un objectif. Ce que je dis par // c'est ce que je pense faire, pas ce que je fais.
Sinon j'aurais était un peu plus bavard. J'aurais montrer que c'était vrai au rang n, et j'aurais tenter de prouver que c'était vrai au rang n+1. Mais c'est justement cela qui me pose problème, est ce que c'est le bon choix la récurrence pour cette question?

La récurrence sur n est une bonne idée.

[Hexin138]

Tu aurais une petite méthode sous la main? Cela m'arrangerait énormément.

[chombier]

Tu aurais une petite méthode sous la main? Cela m'arrangerait énormément.

initialisation : Il faut que tu prouves que

heredité : Il faut que tu prouves que :
n étant un entier naturel quelconque, si , alors

Tu pourras alors conclure.

(Une preuve par récurrence très classique)

[Hexin138]

initialisation : Il faut que tu prouves que

heredité : Il faut que tu prouves que :
n étant un entier naturel quelconque, si , alors

Tu pourras alors conclure.

(Une preuve par récurrence très classique)

Ah mince j'ai cru que quand tu avais dis:

La récurrence sur n est une bonne idée.

Que tu voulais dire que la méthode de la récurrence était à jeter. Et que je devais prouver avec une autre méthode genre une induction, comparaison ou autre. Enfin bon merci pour ça. Je vais tenter de faire un truc au propre pour voir ce que je suis capable de faire avec cette consigne.

[zygomatique]

salut

si u(n + 1) = f(u_n) alors il suffit de montrer que 0 =< x =< 1 => 0 =< f(x) =< 1


pour montrer cette implication on peut ::

a/ étudier les variations de f

b/ travailler par encadrement et opération sur les inégalités

....

[Hexin138]

j'ai dis que U(o) appartient à [0,1]
Après j'ai dis,
Initialisation, 0=Donc La propriété est vrai au rang 0.
Hérédité,
Supposons que propriété est vrai au rang n, donc que 0=Montrons que la propriété est vrai au rang n+1, donc que 0=Donc
0= 1=et 0=<2*Un=<2
Donc
0=<2Un/(Un+1)=<1 (Les signes ne change pas car Un est positif. (ça suffit ?))
Donc 0=
Et la je conclus. J'ai répondu à la question 1.a.
Mais pour les variations de la suite? Je ne voie que la dérivé comme méthode.
Est ce que je dois faire une formule du style
f(x)=(2x)/(x+1)-x pour montrer la variation de la fonction? est ce que ce sera utile? Je répond à la question?

[zygomatique]

faire ce que tu as fait avec u_n ou avec x est la même chose ... en plus lourd (de notation)

les variations de la suite sont données par le signe de f(x) - x ....

[Hexin138]

les variations de la suite sont données par le signe de f(x) - x ....

... signifie que je dois creuser? que je dois abandonner? que tu doutes de cette méthode? que cette méthode est pas terrible?

Quand je dis f(x)-x c'est pas pour faire le calcul selon l'équation y=x, mais que je fais
Un+1-Un pour voir si la fonction croit ou décroit ou est stable.

[zygomatique]

est-ce qu'il y a une différence entre écrire :: et écrire sachant que ?

[Hexin138]

Non, mais je savais que tu avais vu une différence, c'est pour ça que j'ai voulu préciser au cas ou.

[zygomatique]

alors je précise donc ::

il n'y a aucune différence ... sauf le nombre de signes et symboles utilisés et le choix de certains alourdissent inutilement le texte de la démonstration

[Hexin138]

Ok parfait, bon j'ai fini cette partie de l'exo.