Circulation d'un vecteur le long d'une courbe

[elemarre]

Bonjour,

Je dois calculer la circulation d'un vecteur V=(x,y,z) le long de
la courbe C: (z=x^2+ y^2, z=2y et x>=0).
Après avoir montré que le vecteur dérive d'un potentiel scalaire f, il suffit d'appliquer la formule f(b)-f(a) pour trouver la circulation. Cependant je ne vois pas comment déterminer f(b) et f(a) à partir de la courbe et de la fonction f trouvée.

Merci pour votre aide.
Elise

[Sake]

Bonsoir,

Bonjour,

Je dois calculer la circulation d'un vecteur V=(x,y,z) le long de
la courbe C: (z=x^2+ y^2, z=2y et x>=0).
Après avoir montré que le vecteur dérive d'un potentiel scalaire f, il suffit d'appliquer la formule f(b)-f(a) pour trouver la circulation. Cependant je ne vois pas comment déterminer f(b) et f(a) à partir de la courbe et de la fonction f trouvée.

Merci pour votre aide.
Elise

Juste la question d'un perplexe : Ne calcule-t-on pas d'habitude la circulation d'un champ de vecteurs ?

[elemarre]

Oui c'est bien ça, j'ai omis de le mentionner!

[Sake]

Oui c'est bien ça, j'ai omis de le mentionner!

Tu as trouvé le potentiel scalaire ?

[Ben314]

Salut,
Vu l'énoncé, il va te manquer une info. pour avoir la valeur de la circulation (sauf coup de pot où ça fait 0).
Lorsque tu as une "courbe géométrique" (i.e. un "dessin"), pour faire des calculs avec, normalement il te faut une paramétrisation de la courbe et la même courbe admet des tonnes et des tonnes de paramétrisations différentes.
Heureusement, à peu prés tout les truc "standards" qu'on calcule avec la courbe en question ne dépendent (presque) pas de la paramétrisation, par exemple, la circulation ne dépend que... du sens de parcours.

Et ça se voit parfaitement dans ta formule f(b)-f(a) qui demande non seulement à savoir où sont les extrémités, mais aussi quelle est celle "de départ" et celle "d'arrivé".
Tout ce laïus pour dire que tu va pas pouvoir déterminer le signe de la circulation vu que tu as pas le sens de parcours.

Par contre les extrémités, c'est quand même super simple : une paramétrisation archi. standard de x²+y²=1 est x=cos(t), y=sin(t) avec t dans I=[0,2pi[ ou I=[-pi,pi[ pour ne parcourir le cercle qu'une seule fois (et pour le moment, il n'y a pas "d'extrémités" vu qu'on décrit une courbe fermée)
Le z=2y te donne bêtement z=2sin(t) mais le x>=0 fait que tu doit restreindre l'intervalle à J=[-pi/2,pi/2] ce qui créé des "extrémités" en t=-pi/2 et t=pi/2, c'est à dire (x,y,z)=(0,-1,-2) et (x,y,z)=(0,1,2)

On peut aussi le voir purement géométriquement en "voyant" que x²+y²=1 est un cylindre, z=2y un plan "en biais" et x>=0 le demi-espace "au dessus" du plan z=0. Donc ton truc est une demi-ellipse contenue dans le demi plan z=2y, x>=0 assez facile à visualiser.

[Pythales]

Salut,
Vu l'énoncé, il va te manquer une info. pour avoir la valeur de la circulation (sauf coup de pot où ça fait 0).
Lorsque tu as une "courbe géométrique" (i.e. un "dessin"), pour faire des calculs avec, normalement il te faut une paramétrisation de la courbe et la même courbe admet des tonnes et des tonnes de paramétrisations différentes.
Heureusement, à peu prés tout les truc "standards" qu'on calcule avec la courbe en question ne dépendent (presque) pas de la paramétrisation, par exemple, la circulation ne dépend que... du sens de parcours.

Et ça se voit parfaitement dans ta formule f(b)-f(a) qui demande non seulement à savoir où sont les extrémités, mais aussi quelle est celle "de départ" et celle "d'arrivé".
Tout ce laïus pour dire que tu va pas pouvoir déterminer le signe de la circulation vu que tu as pas le sens de parcours.

Par contre les extrémités, c'est quand même super simple : une paramétrisation archi. standard de x²+y²=1 est x=cos(t), y=sin(t) avec t dans I=[0,2pi[ ou I=[-pi,pi[ pour ne parcourir le cercle qu'une seule fois (et pour le moment, il n'y a pas "d'extrémités" vu qu'on décrit une courbe fermée)
Le z=2y te donne bêtement z=2sin(t) mais le x>=0 fait que tu doit restreindre l'intervalle à J=[-pi/2,pi/2] ce qui créé des "extrémités" en t=-pi/2 et t=pi/2, c'est à dire (x,y,z)=(0,-1,-2) et (x,y,z)=(0,1,2)

On peut aussi le voir purement géométriquement en "voyant" que x²+y²=1 est un cylindre, z=2y un plan "en biais" et x>=0 le demi-espace "au dessus" du plan z=0. Donc ton truc est une demi-ellipse contenue dans le demi plan z=2y, x>=0 assez facile à visualiser.

En fait, il s'agit plutôt d'un paraboloïde ( ) coupé par un plan

Je pose , avec soit et finalement , et, variant de à

[Ben314]

Effectivement j'ai (une fois de plus...) lu l'énoncé de travers.... :stupid_in

Si je veut être de mauvaise fois :zen: , je pourrais dire qu'il s'agit tout de même de l'intersection d'un plan et d'un cylindre vu que [z=2y et x²+y²=z] [z=2y et x²+(y-1)²=1]

[Pythales]

Effectivement j'ai (une fois de plus...) lu l'énoncé de travers.... :stupid_in

Si je veut être de mauvaise fois :zen: , je pourrais dire qu'il s'agit tout de même de l'intersection d'un plan et d'un cylindre vu que [z=2y et x²+y²=z] [z=2y et x²+(y-1)²=1]

Maintenant, comme le champ dérive d'un potentiel (scalaire) et qu'on revient au point de départ, le résultat est nul ...