Division euclidienne

[L1M12014]

Bonjour je suis en pleine révision pour les rattrapages, malheureusement ^^. Et je bloque sur un exo, le voici :
Soit P un polynôme. Sachant que le reste de la division euclidienne de P par X;)a est 1 et celui de la division de P par X;)b est ;)1,(a;)=b),quel est le reste de la division euclidienne de P par (X ;) a)(X ;) b) ?

Donc j'ai écrit qu'il existe Q1 Q2 et Q3 appartenant à C tel que :
~ P(X)=(X-a)*Q1(x) + 1 <--> p(a) = 1
~ P(X)=(X-b)*Q2(X) - 1 <--> P(b)=1

Ensuite si on divise P par (X-a)(X-b), on obtient :
P(X)=(X-a)(X-b)*Q3(X) + cX+d
Et donc on cherche c et d.

On sait que :
~ P(a)=(a-a)(a-b)*Q3(a)+ ca+d = c*a +d = 1
~ P(b)=(b-a)(b-b)*Q3(b)+ c*b+d = c*b+d = -1

Donc la j'ai : c*a+d = 1 et c*b+d = -1, et la plus rien, je beug comme un con ! ^^ si quelqu'un pouvait m'éclairer ce serait sympa, merci !

[Doraki]

C'est un simple système linéaire de 2 équations à 2 inconnues (c et d)

[L1M12014]

C'est un simple système linéaire de 2 équations à 2 inconnues (c et d)

1ère équation :c*a+d=1 et 2ème équation c*b+d=-1 ?

Mais on ne peut pas resoudre ce système si on ne connaît pas a et b :mur:

[Doraki]

Et tu ferais comment si a=10 et b= 1000 ?

[L1M12014]

Et tu ferais comment si a=10 et b= 1000 ?

Je comprend pas le lien, merci quand même.

[zygomatique]

salut

les inconnues sont c et d et vois a et b comme des paramètres ....

[MAHDONALD]

c'est très simple cher ami :
P=Q(X;)a)(X;)b)+R avec degR<2.
tu supposes donc que R=ax+b
TU évalues en A et en b et tu as ton système :)
Mehdi.