Problème d'hypothèse ?

[Trident]

Salut à tous.

J'ai une question à propos de ce théorème : http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Banach-Mazur

Dans l'esquisse de démonstration présentée, où utilise-t-on précisément que l'espace est complet ? Il me semble que comme l'application entre E et C(Delta) est isométrique et que C(Delta) est complet, il faut ceci de façon nécessaire. Mais je vois pas à quel moment de la preuve on utilise ce fait.

PS : ce n'est pas au moment où on utilise Banach-Alaoglu et Hahn-Banach, ces théorèmes ne nécessitent pas de complétude.

[Ben314]

Salut,
Pourquoi tient tu donc absolument à ce qu'on utilise la complétion de E quelque part ?
De toute façon, même si on utilisait la complétion dans la preuve, le résultat resterais vrai pour les e.v.n. non complets (mais séparables) vu qu'on pourrait commencer par les plonger isométriquement dans leur complété qui serait un Banach séparable (donc ça ne m'étonne pas vraiment qu'on en ait pas besoin dans la preuve).

[Trident]

Salut,
Pourquoi tient tu donc absolument à ce qu'on utilise la complétion de E quelque part ?
De toute façon, même si on utilisait la complétion dans la preuve, le résultat resterais vrai pour les e.v.n. non complets (mais séparables) vu qu'on pourrait commencer par les plonger isométriquement dans leur complété qui serait un Banach séparable (donc ça ne m'étonne pas vraiment qu'on en ait pas besoin dans la preuve).

Je ne tiens pas à utiliser la complétion mais l'énoncé du théorème est "soit E un espace de Banach"(donc complet) et pas seulement dans wikipedia mais dans toutes les références.
Pourquoi ne pas mettre "soit E un espace vectoriel normé" seulement ?


Après justement , il aurait été possible que dans un premier temps, on démontre le résultat que pour les espaces complets (car il y aurait des hypothèses qui feraient que ça nous facilite la vie) puis comme conséquence , on généraliserait aux espaces non complets avec ton argument. Donc ça ne m'aurait pas étonné non plus que l'hypothèse "complet" soit nécessaire dans un premier temps. Ce qui m'étonne en revanche, c'est de rajouter inutilement des hypothèses.

Car dans ce cas, pour le TVI, on a qu'à partir d'une fonction C1 au lieu de continue par exemple.

[Ben314]

Car dans ce cas, pour le TVI, on a qu'à partir d'une fonction C1 au lieu de continue par exemple.

La "légère" différence (sic), c'est que, si tu ne connait que le T.V.I. "version avec fonction de classe C1", c'est tout sauf clair que tu peut en déduire la version classique du T.V.I. (je suis même pas sûr que ce soit possible).
Alors que là, c'est complètement évident que les deux théorèmes (avec ou sans l'hypothèse de complétude) sont équivalents.

[Trident]

Je suis désolé mais pour moi, ça n'a rien à voir avec le fait que les deux théorèmes soient équivalents. Deux théorèmes peuvent très bien être équivalents mais l'un peut être plus facile à démontrer que l'autre car les hypothèses sont plus sympathiques. L'autre est donc une conséquence du premier. Ici, il n'y a aucun intérêt de se faciliter la vie à rajouter l'hypothèse "complet" si ce n'est mettre un doute sur la nécessité de l'hypothèse .

En tout cas, merci pour ta réponse !

[Ben314]

Je suis désolé mais pour moi, ça n'a rien à voir avec le fait que les deux théorèmes soient équivalents.

Pour moi, si, donc je peut pas t'aider à répondre à ta question.

[Trident]

Pour moi, si, donc je peut pas t'aider à répondre à ta question.

Un élève qui a besoin de ce théorème mais qui n'a pas lu la preuve va croire que cette hypothèse est indispensable et ne pourra pas l'appliquer à son espace non complet. Tu vas me dire ensuite qu'il n'a qu'à réfléchir 2 minutes pour voir que les deux énoncés sont équivalents, je suis d'accord. Mais l'élève ayant fait cette démarche se rend compte qu'en ouvrant n'importe quel livre , l'hypothèse "Banach" est présente et se dit que son raisonnement doit être faux, qu'il s'est laissé piéger par un petit détail dur à détecter. C'est typiquement ce qui m'est arrivé. Après , je sais que ça se trouve, on peut encore plus généraliser le résultat (avec des trucs du genre espaces vectoriels topologiques) mais c'est pas comparable que de passer de Banach à e-v-n.

Mais sinon, tu as répondu à ma question, tu as confirmé que l'hypothèse n'était pas nécessaire.

[Doraki]

Si tu enlèves l'hypothèse de complétude, tu dois enlever le caractère fermé du sous-espace de C([0;1]) non ?