DM produits scalaires

[Matheuseendiff]

Bonjour,Je n'y arrive pas :mur:,, j'ai du mal à le commencer , merci de votre aide !
Le voici :

Partie 1-Distance d'un point à une droite
On se place dans un repère orthonormé du plan. Soit (d) une droite d'équation ax+by+c=0 avec a et b différents de 0 de vecteur normal n(ab) et soit A(xa;ya) un point du plan. Enfin, soit H ( xh;yh) le projeté orthogonal de A sur la droite (d). On définit la distance du point A à la droite (d) comme étant la distance AH.


1) Justifier que les vecteurs n et AH sont colinéaires
2) En déduire que /n.AH/= valeur absolue du vecteur n * AH
3) Justifier que vecteur n.AH = -axA-byA-c
4) En déduire que d(A;D)= norme de axA+byA+c/racinecarré(a²+b²)

Partie 2 Applications
1)On donne les 3 points A(1;2),B(-3;-4) et C(6;1)
a) Démontrer qu'une équation cartésienne de la droite (AB) est donnée par : 3x-2y+1=0
b) Déterminer la distance du point C à la droite (AB)
c) En déduire l'aire du triangle ABC
merci de m'aider ,

[mathelot]

pour la (1), les droites (AH) et
sont deux droites perpendiculaires à (d).
En dimension 2 , elles sont donc parallèles.
et leurs vecteurs directeurs et colinéaires

pour la (2)


(1)

(1) se simplifie car

[Matheuseendiff]

pour la (1), les droites (AH) et
sont deux droites perpendiculaires à (d).
En dimension 2 , elles sont donc parallèles.
et leurs vecteurs directeurs et colinéaires

Comment ça t ?

[mathelot]

c'est la description de la droite perpendiculaire à (d) passant par A.
Un de ses vecteurs directeurs est

[Matheuseendiff]

c'est la description de la droite perpendiculaire à (d) passant par A.
Un de ses vecteurs directeurs est

Pourriez-vous m'expliquer la question n3, aussi , cela serait gentil ,je seche :doh:

[mathelot]

Pourriez-vous m'expliquer la question n3, aussi , cela serait gentil ,je seche :doh:

en valeur absolue






mais H est le projeté de A sur (d), il appartient à (d), donc


mézalor



d'où le calcul de AH (=d(A,(d)))

[titine]

vec(n) (a ; b)
vec(AH) (xH-xA ; yH-ya)
vec(n).vec(AH) = a(xH-xA) + b(yH-ya)
= axH - axA + byH - byA = -axA - byA + axH + byH
Mais comme H appartient à la droite d'équation ax + by + c = 0 alors axH + byH + c = 0
Donc axH + byH = -c
On a donc bien : vec(n).vec(AH) = -axA - bxA - c

[mathelot]

4) En déduire que d(A;D)= norme de axA+byA+c/racinecarré(a²+b²)

c'est une valeur absolue.