Théorèmes intégraux

[Dylaa2n]

Bonsoir,

J'ai un petit souci avec un exercice :
On me demande de calculer le flux de sortant du premier octant S de la sphère

J'ai procédé en utilisant le théorème de la divergence, disant que : S étant la surface de l'octant et B étant son volume. J'ai effectué un changement de variables : en passant donc aux coordonnées polaires. Seul problème, lors de l'intégration, j'intègre de manière à ne prendre que le volume de mon octant (phi varie de à , r de 0 à a et theta de à ) mais je n'aboutis pas à a bonne réponse..

Dans le solutionnaire, ils ne procèdent pas de la même manière que moi mais je me demande pourquoi ma méthode n'est pas correcte.

Ce serait sympa de m'éclairer :happy2:

[Pythales]

Bonsoir,

J'ai un petit souci avec un exercice :
On me demande de calculer le flux de sortant du premier octant S de la sphère

J'ai procédé en utilisant le théorème de la divergence, disant que : S étant la surface de l'octant et B étant son volume. J'ai effectué un changement de variables : en passant donc aux coordonnées polaires. Seul problème, lors de l'intégration, j'intègre de manière à ne prendre que le volume de mon octant (phi varie de à , r de 0 à a et theta de à ) mais je n'aboutis pas à a bonne réponse..

Dans le solutionnaire, ils ne procèdent pas de la même manière que moi mais je me demande pourquoi ma méthode n'est pas correcte.

Ce serait sympa de m'éclairer :happy2:

Tu ne peux pas utiliser le théorème de Grenn car ton flux ne sort pas d'une surface fermée.

Il faut poser



avec

Le flux vaut
où est ton vecteur dont les composantes sont exprimées en fonction de , et

Par contre, s'il s'agit du flux sortant de tout l'octant, tu peux appliquer le théorème de Green.
On trouve de sorte que l'intégrale de divergence est égale à 1/8 du volume de la sphère, c.a.d. ce qui est nettement moins compliqué ...

[Ben314]

Je suis évidement d'accord avec Pythales, mais en plus, je comprend pas trop comment tu t'y prend concernant la paramétrisation de la sphère pour qu'un octant, ça se paramétrise par

...phi varie de à ,... et theta de à

Tu utilise quoi comme changement de variable pour obtenir ça ?

[Dylaa2n]

Tu ne peux pas utiliser le théorème de Grenn car ton flux ne sort pas d'une surface fermée.

Il faut poser



avec

Le flux vaut
où est ton vecteur dont les composantes sont exprimées en fonction de , et

Par contre, s'il s'agit du flux sortant de tout l'octant, tu peux appliquer le théorème de Green.
On trouve de sorte que l'intégrale de divergence est égale à 1/8 du volume de la sphère, c.a.d. ce qui est nettement moins compliqué ...

Bonjour et merci pour ta réponse,

Oui effectivement il ne faut pas calculer tout le flux sortant mais simplement de la surface "courbée". Seul problème, si je suis ce que tu me dis, ca voudrait dire que mon vecteur unitaire varierait tout le temps lors de l'intégration? Comment faire du coup?

J'ai aussi pensé à calculer le flux total (comme tu l'as fait grâce au théorème de la divergence) et de soustraire les 3 flux passant par les surfaces planes de l'octant? Dans ce cas, on n'aurait pas ce problème de vecteur unitaire variable.

[Dylaa2n]

Je suis évidement d'accord avec Pythales, mais en plus, je comprend pas trop comment tu t'y prend concernant la paramétrisation de la sphère pour qu'un octant, ça se paramétrise parTu utilise quoi comme changement de variable pour obtenir ça ?

Les mêmes que Pythales... j'ai peut-être un peu de mal avec la représentation des différents paramètres sur la sphère, mais selon moi quand j'y repense, on a un angle theta variant de 0 à (vu qu'on prend un octant) et mon ange phi varie de 0 à du coup? (je me réfère à l'image suivante pour choisir mes angles : Lien )

EDIT : Je viens de me rendre compte de ma bêtise.. En effet, je considérais (je ne sais pas pourquoi :lol5:) l'octant de ma sphère mais en plus de cela seulement la partie où ) donc je comprends mieux maintenant :happy2:

[Ben314]

Je comprend toujours pas d'où sort ton pi/4.
Et concernant le "seulement la partie où z>0", perso, bien que je suis pas sûr d'avoir déjà utilisé le terme "d'octant", je parierais fort que ça consiste à diviser R^3 en huit parties et je parierais tout aussi fort que les 8 parties en question, c'est les possibilités qu'on a lorsque l'on regarde le signe de x (2 poss.), celui de y (2 poss.) et celui de z (2 poss.).
Conclusion, le "premier octant" : je vois pas bien ce que ça pourrait être d'autre que les point de R^3 tels que x>0, y>0, z>0.

[Pythales]

Je comprend toujours pas d'où sort ton pi/4.
Et concernant le "seulement la partie où z>0", perso, bien que je suis pas sûr d'avoir déjà utilisé le terme "d'octant", je parierais fort que ça consiste à diviser R^3 en huit parties et je parierais tout aussi fort que les 8 parties en question, c'est les possibilités qu'on a lorsque l'on regarde le signe de x (2 poss.), celui de y (2 poss.) et celui de z (2 poss.).
Conclusion, le "premier octant" : je vois pas bien ce que ça pourrait être d'autre que les point de R^3 tels que x>0, y>0, z>0.

J'ai fait la même hypothèse

[Dylaa2n]

Je comprend toujours pas d'où sort ton pi/4.
Et concernant le "seulement la partie où z>0", perso, bien que je suis pas sûr d'avoir déjà utilisé le terme "d'octant", je parierais fort que ça consiste à diviser R^3 en huit parties et je parierais tout aussi fort que les 8 parties en question, c'est les possibilités qu'on a lorsque l'on regarde le signe de x (2 poss.), celui de y (2 poss.) et celui de z (2 poss.).
Conclusion, le "premier octant" : je vois pas bien ce que ça pourrait être d'autre que les point de R^3 tels que x>0, y>0, z>0.

Oui c'est vrai que cela me semble plus cohérent.. Du coup maintenant, je n'ai plus qu'à calculer le flux total et retirer le flux passant par les 3 surfaces planes (de vecteurs unitaires -i, -j et -k) et j'obtiendrai le flux souhaité... Je vais essayer ca, merci à vous deux :happy2: