Récurrence

[Asuma]

Bonjour tout le monde, je veut montrer par récurrence que pour tout n >= 13, Un >= 2^n avec Un= (3^n) / (n²)

Je suis bloqué lorsque j'arrive à la démonstration, je dit:

(3^(n+1)) / (n+1)² >= 2^(n+1)

je développe et je ne sais plus quoi faire

Merci d'avance

[titine]

Pour montrer que (3^(n+1)) / (n+1)² >= 2^(n+1)
as tu essayé de montrer que (3^(n+1)) / (n+1)² - 2^(n+1) >= 0
en réduisant au même dénominateur et en faisant une étude de signe ?

[Asuma]

Et bien en fait je dois montrer par récurrence que pour tout n >= 13 , Un >= 2n
Alors je pose Pn <=> Un >= 2^n

Je vérifie pour le premier terme P13 et je m'apperçoit Pn est vrai au rang 13

Ensuite je fait la rédaction classique (Montrons/Supposons/Montrons)

Et j'en suis à la démonstration:

(3^(n+1))/(n+1)² >= 2^(n+1)

Là où je bloque

[atito]

D'abord c'est 2n et 2^n ?
ensuite t'as encore pas fait de calcul pour que tu te bloques..! essaie déjà d'utiliser que Un> 2...pour liquider le 3^(n+1).

Merci.

[Asuma]

C'est 2^n je viens de rectifier.

Si si j'ai fait un calcul mais ça ne doit pas être le bon:

(3^(n+1)) / (n+1)² >= 2^(n+1)
(3^(n+1)) >= 2^(n+1) * (n+1)²
(3^(n+1)) - 2^(n+1) * (n+1)² >=0

Enfin voilà j'ai essayé autre chose mais c'est pire

[atito]

Et bien en fait je dois montrer par récurrence que pour tout n >= 13 , Un >= 2n

Je parlais de ce 2n.

[atito]

C'est 2^n je viens de rectifier.

Si si j'ai fait un calcul mais ça ne doit pas être le bon:

(3^(n+1)) / (n+1)² >= 2^(n+1)
(3^(n+1)) >= 2^(n+1) * (n+1)²
(3^(n+1)) - 2^(n+1) * (n+1)² >=0

Enfin voilà j'ai essayé autre chose mais c'est pire

T'as lu tout ce que j'ai posté? utilises l'hypothèse de récurrence pour liquider le 3^(n+1) au début si tu veux..

[Asuma]

J'en suis à:

3^(n)*3 - 2^n(2n^(2)+4n+2) >= 0

Le problème c'est que je n'arrive pas à simplifier

[Asuma]

Comment faire aussi pour 'liquider' le 3^(n+1)